1、一元三次方程求根公式 一元二次ax2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （数学九章等）一元三次方程ax3 +bx2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在关于代数的大法一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约 14991557）.发现此公式后

2、，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著重要的艺术一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：&q

3、uot;这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友-布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。 塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔

4、塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完

5、整的表达式。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚

6、这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作关于代数的大法中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。至于一元四次方程ax4 +bx3 +cx2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n5)

7、没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax3+bx2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x3+px+q=0的特殊型。ax3+bx2+cx+d=0 为了方便，约去a得到 x3+kx2+mx+n=0 令x=y-k/3 代入方程(y-k/3)3+k(y-k/3)2+m(y-

8、k/3)+n=0 (y-k/3)3中的y2项系数是-k k(y-k/3)2中的y2项系数是k 所以相加后y2抵消 得到y3+py+q=0 其中p=(-k2/3)+m q=(2k3/27)-(km/3)+n一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A(1/3)+B(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A

9、(1/3)+B(1/3)两边同时立方可以得到（2）x3=(A+B)+3(AB)(1/3)(A(1/3)+B(1/3)（3）由于x=A(1/3)+B(1/3)，所以（2）可化为x3=(A+B)+3(AB)(1/3)x，移项可得（4）x33(AB)(1/3)x(A+B)0，和一元三次方程和特殊型x3+px+q=0作比较，可知（5）3(AB）（1/3）p,(A+B)=q，化简得（6）A+Bq，AB-（p/3）3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（

10、8）y1y2（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令Ay1，By2，qb/a，-（p/3）3c/a(10)由于型为ay2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1（b（b24ac）(1/2)）/(2a)y2（b（b24ac）(1/2)）/(2a)可化为(11)y1(b/2a)-(b/2a)2-(c/a)(1/2)y2(b/2a)+(b/2a)2-(c/a)(1/2)将(9)中的Ay1，By2，qb/a，-（p/3）3c/a代入（11）可得(12)A(q/2)-(q/2)2（p/3）3）(1/2)B(q/2)+(q/2)2（p/3）3）(1/2)(13)将A，B代入x=A(1

11、/3)+B(1/3)得(14)x=（(q/2)-(q/2)2（p/3）3）(1/2)）(1/3)+（(q/2)+(q/2)2（p/3）3）(1/2)）(1/3)式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。ax3+bx2+cx+d=0 记：p=（27a2d-9abc+2b3）/(54a3) q=(3ac-b2）/（9a2） X1=-b/（3a）+（-p+（p2+q3）(1/2)(1/3)+ （-p-（p2+q3）(1/2)(1/3) 下面介绍一个三次方求根计算方法：fm=m(k+1)=m(K)+A/.(k)-m(k)1/n.n是方次，A被开方数。例如，A=5，5介于1的3次方至