1、.道路减速带的减速模型的研究一 摘要本文将轮胎视为刚体建立车辆经过减速带时的减速模型圆弧形数学模型和相切抛物形数学模型，对车辆经过减速带时进行动力学分析，并建立适当的平面直角坐标系进行相应的几何分析得到车辆速度和加速度的表达式，利用MATLAB和Lingo等计算软件进行求解，进而对减速带的减速效果进行分析。对于问题一，模型一得出汽车轮轴在经过减速带时的轨迹方程，分别对时间求一阶导数和二阶导数得到相应的速度和加速度的表达式。考虑到车辆通过减速带的安全性和平稳性，运用物理知识对汽车通过减速带时进行力学分析，得到临界速度。模型二在模型一的基础上，在减速带截面曲线两边接上过度曲线，增加汽车通过减速带的

2、安全性，经MATLAB对该数学模型仿真发现相切抛物线作为过渡曲线为最佳减速带形状，用类似于模型一的方法得到临界速度。通过查阅文献得知六种减速带的尺寸参数，分别代入上述表达式便求得相应的临界速度。对于问题二，模型一定义减速效果为在车辆通过减速区域的时间内车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内同过减速区域的距离之差再与做匀速直线运动通过的距离之商。相应的距离通过相关的动力学分析和计算便可得到，最后将所对应的六种减速带的尺寸规格与减速带之间的距离的关系用MATLAB画出它们的关系图。模型二则是通过对车辆通过减速带前后的动力学分析，求得车辆通过减速带的总时间以及在减速区域内的最大速度来说明

3、减速带的减速效果，总时间为12.79s，减速区域中的最大速度为13.1m/s。对于问题三，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的时间最短。模型一对能达到最优减速效果的车辆速度每隔10km/h设定了限速区间，在不同的限速区间内减速带的最优设置不同，对范围内的速度进行分析，最终得到每一个限速区间所对应的减速带的最优设置尺寸和通过相应减速带的最短时间。模型二在其对问题二分析的基础上，对减速带之间的距离进行限制，使得车辆在第二次减速之前的速度还未加速到初始速度，再在最优减速效果的基础上求使经过减速区域的总时间最小的三条减速带两两之间的距离，结

4、果为当时，即第一二两条减速带之间距离为18或82米，二三两条减速带之间为82或18米时，最短时间为。关键词：圆弧形 相切抛物线 动力学分析 临界速度 限速区间二 问题重述某单位的办公场所地处一主干道边上，主干道上车流量较大，车速达到平均每小时60公里，对人员的进出造成了一定的威胁。交警部门打算在该路段路面设置减速带，达到使来往车辆减速的目的。（1）建立道路减速带减速的数学模型；（2）利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；（3）利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案。三 问题分析减速带作为一种特殊的道路安全设施，对遏制交通事故的发生发挥了重要作用。从驾驶人速

5、度选择来说，车辆的行驶速度很大程度上取决于驾驶人的期望车速,而驾驶人的期望速度又是根据其行驶安全感和乘坐舒适性决定的。如果驾驶人的安全感高、乘坐舒适性好,则他的期望车速比较高；反之,驾驶人的期望车速就比较低。道路减速带的控制车速原理是通过影响驾驶人的驾驶心理实现的。当车辆以较高车速通过道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经由车身及座椅传递给驾驶人,产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激。生理刺激使驾驶人产生很强烈的不舒服感,心理刺激会加深驾驶人的不安全疑虑,进一步降低了驾驶人对道路环境的安全感。一般情况下,驾驶人认为不舒适度越大,车辆行驶安全性也越小,即安全感越小。由此可知,道路减

6、速带的设置会大大降低驾驶人行车安全感和乘坐舒适性的期望值,促使驾驶人选择较低的期望车速。在期望车速的指导下,驾驶人将在没有外界压力的情况下,主动使车辆以较低的行车速度接近道路减速带。目前常用的减速带主要有道钉减速带、驼峰式减速带、水泥台减速带、热塑振动减速带等, 我国城市道路上最常见的是条状的橡胶减速带，因此本文主要对橡胶减速带建立相应的数学模型3。对问题一分析，减速带的截面形状近似看成是圆弧形，忽略车轮的弹性，对车轮与减速带碰撞时进行几何分析，可以得到轮轴速度和加速度与时间的关系。当司机行驶到距离减速带30米时，开始减速，将其近似为匀减速直线运动，到达减速带时看成匀速通过减速带，考虑到速度过

7、大时车辆通过振动过大易飞出去，因此，对于问题一只要求出通过减速带时的临界速度即可。对问题二分析，在问题一的基础上，定义减速效果为在车辆通过减速区域的时间内车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内同过减速区域的距离之差再除以做匀速直线运动通过的距离。根据问题一求出的临界速度可以计算在相邻两减速带之间车辆经过减速和加速的时间，最后可以算得通过的距离，得到等间距设置的减速带的减速效果。对问题三分析，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的最大速度。为使减速效果最优，则应在车辆加速时未达到初始速度就到达距离减速带为30米开始减速，若车

8、辆在达到初始速度后有一段匀速期，则三条减速带的效果就和一条减速带的效果一样，这样设置三条减速带就失去了其减速作用的意义，故在刚达到或还未达到初始速度时就开始减速。为达到效果最优，设定限制条件，由此并可求得三条减速带两两之间的距离以及最优宽度和高度。四 基本假设1、由于碰撞情况较复杂，为简化模型，忽略轮胎的弹性，将其视为刚体；2、由于车轮经过减速带的距离很短，将汽车在通过减速带的这一段时间内的速度的大小近似看做是不变的；3、为保证汽车在行驶过程中的速度只受减速带的影响，假设道路是平坦的，无弯道、坡度和凹坑等；4、假设车辆在看到减速带区域之前做匀速直线运动；5、假设通过减速带的车辆的载荷，型号以及

9、车轮的半径相同；6、由于司机的最远可视距离有限，并且每个人的视力范围有所差别，为简化模型，假设司机的刚看到减速带时到车辆的最远可视距离为定值；7、司机看到减速带后并没有马上减速，而是在距离减速带约30米时才开始减速，通过减速带后又开始加速1；8、车辆到达减速带前和越过减速带后的速度变化忽略，即减速带本身对车速的影响忽略不计，把车辆在减速带的位置看作为一质点；9、不考虑车轮与减速带之间的摩擦。五 模型建立5.1 模型一 圆弧数学模型5.1.1 符号说明表5.1 模型一中变量符号说明符号描述减速带圆弧半径（mm）汽车轮胎半径（mm）汽车通过减速带时的速度（km/h）圆弧减速带圆心的纵坐标汽车轮胎半

10、径（mm）司机在看到减速带之前做匀速直线运动的初速度（km/h）汽车通过减速带时轮胎不脱离时的最大临界速度（km/h）车辆在未到达第一条减速带前开始减速的时刻（s）车辆到达减速带的时刻（s）车辆后轮刚离开减速带的时刻（s）车辆在通过第三条减速带时的时刻（s）车辆通过第三条减速带后加速到初始速度的时刻（s）在时间段内车辆已初始速度匀速行驶的距离（m）设置了减速带后，在时间段内汽车行驶的距离（m）保证车辆限速的两条减速带之间的最大距离（m） 不造成堵车等问题的两条减速带之间的最小距离（m）两条减速带之间的距离（m）车辆匀减速时驶过的距离（m）车辆匀加速时驶过的距离（m）相邻两条减速带之间的距离（m

11、），其中车辆在匀减速阶段的加速度（）车辆在匀加速阶段的加速度()减速效果（%）5.1.2 问题一模型建立设减速带横截面曲线为一段圆弧，当汽车轮胎与减速带刚接触时，以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点，以地面水平线为轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为轴，建立平面直角坐标系，如图5.1所示：O图5.1 轮胎与圆弧形减速带的碰撞模型由图5.1可知，当轮胎从圆弧上面滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以为半径的圆弧，轨迹方程为（5.1.1）参数方程为 （5.1.2）式中，将参数方程对求导可得轮轴速度： （5.1.3）将其对求导可得轮轴的加速度： （5.1.4）为保证车辆经过减速带时的安全，在通过圆弧

12、减速带最高点时应有，此时，则，得到，车辆通过减速带时轮胎不脱离的最大临界速度（5.1.5）5.1.3 问题二的模型建立先研究一条减速带单独作用的情形，动力学分析图如下：图5.2 一条减速带的减速作用动力学分析图如图5.2所示，三点分别为汽车在减速带前开始减速、到达减速带、驶离减速带的相应时刻汽车的位置。从图中可以直观地看出，在时间段内，车速有所下降，是由于司机看到减速带开始减速一直到通过减速带，在时间段内，车辆离开减速带后开始加速。将与时刻对应的之间的距离定义为减速带的作用区域，定义为一条减速带的作用时间。如果相邻两条减速带之间的距离过长，则车辆在经过减速带后在开始第二次减速之前，就已经加速到

13、初始速度开始以初始速度做匀速运动，使得三条减速带的作用于一条减速带的作用效果相同，这样便失去了设置三条减速带的意义。此种情况的动力学分析图如下：图5.3 三条等距离且相距较远的减速带的减速作用分析图考虑到上述情况，相邻两条减速带之间的距离应控制在某一范围内，即。在时速度刚达到初始速度的临界情况，根据动力学知识有：（5.1.6）此时，即（5.1.7）定义为汽车的加速反应度，由定义可知，加速反应度值越小，则汽车的加速减速性能越好。于是有：（5.1.8）再来考虑连续等距三条减速带的情形,其动力学分析图如下：图5.4 连续等距三条减速带的减速作用动力学分析图如上图，将对应的间的距离定义为三条减速带的作

14、用区域。而定义为减速带作用时间。如果没有设置减速带，则这段时间内，汽车会以的速度匀速行驶，对应的距离为：（5.1.9）而设置了减速带后，时间段汽车试过的距离则为间的距离。由此减速效果为：（5.1.10）因为，所以由定义可知为一个介于0与1之间的数。在不考虑其他因素的情况下，值越大则减速效果越好。设减速带之间的距离为一变量。结合图形求得如下结果：（5.1.11）（5.1.12）（5.1.13）所以有：（5.1.14）（5.1.15）（5.1.16）将上述两式带入得：（5.1.17）可见为的函数。5.1.4 问题三的模型建立考虑到如果两条减速带的距离过近，则司机在驶过第一条减速带后，不会再加速，而

15、是以匀速驶过下一条减速带。由第一问可知，的速度一般较小，在左右。在一条限制速度为的道路上，如果出现一段平均车速的路程，虽然降低了车速，但过低的速度也会造成诸如堵车等问题，这是交通部门在设置减速带时就应设法避免的问题。因此两条减速带之间的距离必须大于。如果两条减速带的距离过长，则汽车又会加速到后再减速，达不到限速保证安全的作用，所以两条减速带之间的距离必须小于。把能达到最优减速效果的适宜平均车速定为。三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图如下：图5.5 三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图分析上图，三个时刻对应的位置三点，分别是三条减速带的设置点。为三条减速带之间的距离。在加速度一定的前提

16、下，不管具体的值如何，汽车从第一条减速带前开始减速到抵达第一条减速带，以及从驶过第三条减速带到加速到，即图中这两段过程始终是一样的，因此只考察一三两条减速带之间的情形。从司机的角度考虑，总是希望在震动不强烈的请况下以最短的时间驶过三条减速带，即最小。从图中可以直观地看出，三条减速带距离越近，越小；从交通管理部门角度考虑，减速带之间距离过短，则易造成交通堵塞，过长则起不到限速的作用。所以减速效果最优的设置方案转化为满足一定约束条件，以汽车驶过三条减速带的时间最短为目标函数的优化问题。先考虑一二两条减速带之间的情况，根据第二问的加速段和减速段驶过的距离分别为和，相应的加速度分别为和。由运动学知识知

17、：（5.1.18）解得：（5.1.19）因此有，（5.1.20）类似于第二问，定义为汽车的加速反应度，由定义可知，加速反应度值越小，则汽车的加速减速性能越好。于是有：（5.1.21）同理，对二三两条减速带之间的情况，有：（5.1.22）因此，（5.1.23）车辆驶过三条减速带之间的平均速度为（5.1.24）由于，得到（5.1.25）综上所述，得目标函数和约束条件如下：（5.1.26）5.2 模型二 相切抛物线模型5.2.1 符号说明表5.2 模型二中变量符号说明符号描述减速带的宽度（mm）减速带的高度（mm）车辆的质量（kg）车辆的重量（N）减速带对车辆的支持力（N）车轮外径（mm）车辆行驶的

18、安全速度(km/h)司机看到减速带开始减速到减速结束之间的距离（m），为定值第一个减速带到第二个减速带的距离（m）第二个减速带到第三个减速带的距离（m）第一个减速带到第三个减速带的距离，为定值（m）车辆在S1区域的最大速度（km/h），且车辆在S2区域的最大速度（km/h），且车辆通过此区域所用的总时间（s）车辆通过此区域所用的最小时间（s）车辆在匀加速运动时所用的时间（s）车辆在匀减速运动时所用的时间（s）5.2.2 问题一的模型建立在模型一的基础上，在减速带截面曲线两边接上过度曲线可以减小的值。当过渡曲线为相切圆弧时,考虑到圆弧半径必须大于轮胎半径，减速带宽度对成本的影响及圆弧必须与原减速

19、带和地面同时相切等因素,经MATLAB对该数学模型仿真发现,没有突变,但仍然比较大,因此尝试采用相切抛物线模型。类似于模型一，以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点，以地面水平线为轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为轴，建立平面直角坐标系，如图5.2所示： 图5.6 相切抛物线模型OO图5.7 圆弧形减速带的几何分析图xyhL/2r1因减速带纵断面为圆弧形，由高和宽，根据平面几何知识求得圆弧半径为：（5.2.1）设圆弧曲线方程为：（5.2.2）过渡抛物线方程为：（5.2.3）与圆弧相切于点，则有如下方程组：（5.2.4）（在处斜率相等）对汽车匀速通过减速带时轮轴的运动进行分析。轮轴的运动轨迹分为3 段

20、,中间一段为前面所述的一段圆弧,两边均为抛物线,设右边的抛物线轨迹方程为：已知过点，且有：（5.2.5）代入上式得到（5.2.6）则右边抛物线方程为：（5.2.7）同理可得左边抛物线的方程为：（5.2.8）由图5.6可知，当轮胎从圆弧部分滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以为半径的圆弧，轨迹方程为 （5.2.9）因此可得汽车通过整个减速带时轮轴的运动轨迹方程为， ， （5.2.10）， 将其对t求导，得轮轴速度和， ， （5.2.11）。 将上式再次对t求导，可得对应上述三段时间的轮轴加速度 （5.2.12）当车轮通过减速带圆弧部分时，车轴竖直方向加速度为，对车轴进行受力分析。当时，汽

21、车前轮有离开路面从而产生比较距离的震动，大大降低汽车行驶的安全性和稳定性，为避免这种情况发生需，化简得到，则减速带的期望车速为：（5.2.13）5.2.3 问题二的模型建立类似于模型一，汽车通过整个减速带区域的运动过程为：汽车从60m/s的速度开始减速，行驶到第一条减速带时的汽车的速度减至限制速度。汽车通过两减速带之间的区域的过程中，先以恒定加速度加速，当司机能看到减速带时，以加速度减速。整个过程中，汽车的速度不能超过安全速度，并且汽车行驶到减速带时的速度为限制速度。其中三减速带两两之间的距离相等，即S1=S2。速度与时间的图像如图5.8所示：图5.8 车辆通过等间距的三条减速带的v-t图ts

22、vm/s先分析汽车通过第一二条减速带之间区域的运动过程，其中有如下关系：（5.2.14）同理，汽车通过第二三条减速带之间区域的运动过程，有如关系：（5.2.15）根据上述方程求解汽车通过整个减速带区域的总时间：（5.2.16）5.2.4 问题三的模型建立在问题二的基础上，第一条与第二条减速带，第二条与第三条减速带之间的距离S1,S2为变量，但满足关系S1+S2=S。速度与时间的图像如图5.9所示：图5.9 车辆经过不等间距的三条减速带时的v-t图根据假设得出关系式：（5.2.17）根据问题二中的方程求解汽车通过整个减速带区域的总时间：，确定减速带之间的距离使得总时间最小。六 模型的求解6.1

23、模型一的求解6.1.1 问题一的求解汽车轮胎外径D为：，式中d轮毂直径；B轮胎宽度；轮胎偏平率。由于轮胎型号较多，各轮胎直径不尽相同，本研究在计算时取D=640mm2,则轮胎半径。目前普遍使用的驼峰型道路减速带宽度一般为300500mm，高度一般为3060mm。通过查找文献3发现选用D型道路减速带即可取得良好的控制车速效果。表6.1 不同道路减速带尺寸参数减速带类型高度h/mm宽度L/mm半径r1/mmA305801416.67B305001056.67C40500801.25D50370367.25E60340270.83F40300301.25将不同的减速带尺寸参数带入到方程（5.1.5）

24、中，得到不同尺寸的减速带的临界速度如下表：表6.2 不同道路减速带尺寸参数所对应的临界速度减速带类型高度h/mm宽度L/mm半径r1/mm临界速度A305801416.674.167315.0024B305001056.673.710413.3573C40500801.253.348512.0546D50370367.252.62159.4376E60340270.832.43078.7505F40300301.252.49258.97306.1.2 问题二的求解根据题中数据及参考文献3中的相关数据，取因此由第一问的结果可知，不同减速带对应的有不同的值。将及上述数据代入的表达式，就能得到不同型

25、号的减速带对应的减速带间距与减速效果的具体关系如下图:图6.1 不同减速带所对应的间距与减速效果之间的关系图根据的定义，可得汽车在减速区域的平均速度与减速效果的关系式为：，因此减速区域内的平均车速与减速带的间距关系图如下：图6.2 减速区域内的平均车速与减速带之间的间距的关系图6.1.3 问题三的求解综合第一问中6种减速带的值，取算术平均值，所以有，同第二问，相关数据取如下的值：由第二问中的结果知，取。对于的取值，在的速度范围内分为6个等距区间，以速度为为例，也就是。所以取。用lingo求解，得到相应限速区间内的最佳设置方案如下表：表6.3 不同限速区间内减速带的最佳设置方案限速区间()减速带

26、距离()减速带距离()通过时间()10104.1220.527.95.491068.99.47注：斜线部分表示无解。6.2 模型二的求解6.2.1 问题一的求解在计算的具体数值时，为六种型号减速带的界面圆弧半径。取一固定的车轮外径值，为。由图5.6可知，。取，则汽车车轮通过减速带的时间为：。由此可知，是关于的函数。取遍减速带的六种半径时，即可得对应的值。计算结果如下表：表6.4 不同道路减速带尺寸参数所对应的临界速度减速带类型高度h/mm宽度L/mm半径r1/mm临界速度A305801416.674.022914.4823B305001056.673.527712.6996C40500801.

27、253.116611.2199D50370367.252.17527.8309E60340270.831.87366.7449F40300301.251.97547.11166.2.2 问题二的求解根据生活实际取题中相关变量的具体值。三减速带之间的距离，每两条之间的距离，汽车加速时和减速时的加速度分别为，由模型二第一问的结果知，减速带的设计速度，再根题意取。所以根据建立的模型，求得汽车在两条减速带之间的最大速度为所以汽车通过减速带作用区域的总时间为：。6.2.3 问题三的求解各相关变量的取值同第二问，再根据所建立的模型有如下的关系式：。同模型一中的第二问，两条减速带之间的距离不能过大，否则汽车

28、在驶过一条减速带后又会加速到较高速度从而起不到减速效果。所以有最大距离限制：，所以。根据，有。由此得的范围为：。在这个条件下有如下关系式：，所以：，得：最终得汽车通过减速带的时间与之间的函数关系式为：绘得的图形为：图6.3 第一二条减速带之间的距离与通过减速区域总时间的关系图由图形可以直观地看出，当时，最短时间为。七 模型的改进7.1 问题一的模型改进考虑到实际情况中，司机很少以匀减速来达到减速目的，现将模型一进行改进，将减速段和加速段分解成断面，每隔10米为一段，在减速段，司机从距30m处开始减速，设3020m、2010m、100m这三段路的加速度分别为，经过这三段的时间分别为，在30m、2

29、0m、10m，0m处的速度为分别为,，则，解得 其中，当时，车辆能安全平稳地通过。7.2 问题二的模型改进考虑到实际境况中，司机看到第二根减速带时，不会立即从加速改为减速，而是先做一段匀速运动，再减速，因而对原模型进行改进。改进后的动力学分析图如下：V0Vea b S1 c S2 d e t1 t2 t3 t4 t5tvV3图7.1 连续等距三条减速带的减速作用动力学分析图先分析汽车通过第一二条减速带之间区域的运动过程，表示加速所用时间，表示匀速所用时间，表示减速所用时间，表示司机考到减速带时车到减速带的距离，表示车辆在 区域的最大速度， 表示车辆在 区域的最大速度，表示在整个区域内车辆行驶的

30、最大安全速度，则有如下关系：同理，汽车通过第二三条减速带之间区域的运动过程，有如关系： 根据上述方程求解汽车通过整个减速带区域的总时间：减速效果 7.3 问题三的模型改进在模型三中，由于缺少人的舒适度与车速之间量化关系，所以最优减速效果的适宜平均车速未必是人最舒适的车速，但实际情况中，人的舒适度往往会影响到这个最优减速效果的适宜平均车速，所以要确定这个最优减速效果的适宜平均车速，首先应通过对该路段人的舒适度与车速之间的关系进行考察，建立人的舒适度与车速之间的量化关系，求得人最舒适时的车速，再综合考虑是否堵车，是否超速等问题，寻求一个最优解。八 参考文献1 王超，史扬，陈永胜 公路设置驼峰式减速

31、带的实际效用研究J 山西建筑2009.35(1):287-288.2 邱望标,黄克,黎熊,蒋辉海,李莉娅 减速带形状对汽车振动的影响分析J 橡胶工业, 2008.55(11):675-679.3 张榫,魏朗,余强 道路减速带对车辆平顺性和安全性的影响J 长安大学学报(自然科学版) 2008.28(4):95-98.九 附录9.1 模型一中相关程序1、不同型号的减速带对应的减速带间距与减速效果具体关系的MATLAB程序： a=4.1673; b=3.7104; c=3.3485; d=2.6215; e=2.4307; f=2.4925; s=0:0.1:75; ya=1-(278.89-a*a)*0.3+2.*s)./(0.6*(16.7-a)+2.*sqrt(a*a+3.33.*s).*16.7); yb=1-(278.89-b*b)*0.3+2.*s)./(0.6*(16.7-b)+2.*sqrt(b*b+3.33.*s).*16.7); yc=1-(278.89-c*c)*0.3+2.*s)./(0.6*(16.7-c)+2.*sqrt