首先看一个方程 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x_1+x_2+x_3=0 x1​+x2​+x3​=0 这个方程我们可以知道，是一个有两个自由变量的方程，因为对于任意的其中两个变量，第三个变量都可以以取 这两个变量的 和式的相反数 的形式进行取值，因此是两个自由变量。

基础解系就是能表出所有解的线性无关的向量组，他既要足够大（大到能表示方程组所有的解），也要足够小（不要有多余的向量可以由向量组内其他的向量表示出来）。

回顾什么是自由变量这个问题，自由变量就是任意取值，这两个自由变量的组合可以想象成任意的一个二维向量（解向量是三维向量，对于其中任意一个二维向量分量，第三个一维向量分量都有唯一的表示方法）。而所有解实际上就变成了，任意取值的二维向量（第三个分量由这个二维向量确定，因此不用管）。 那么问题就变成了，我们怎么用一个向量组去表示这个任意的二维向量？

想象一个二维的平面（任意的二维向量意味着任何一个二维向量空间的向量都可以由这个任意的二维向量表示），任取一个向量，对单个向量的线性组合只能是用系数 k k k对这个向量做数乘，因此始终是在一条直线上，自然不能表示任意的二维向量。

eg：k(1,1)无论如何表出不了(2,3)这个向量。

同样是二维平面，两个线性无关的二维向量通过加加减减，始终可以表示整个平面的二维向量。

eg：k1(1,0)+k2(0,1)=(x,y)，对于任意的x，y，只需要令k1=x，k2等于y，即可得解，因此可以将二维平面中的向量全部表出。

既然两个线性无关的二维向量可以表示任意的二维向量，又因为，基础解系是要求最小的线性无关向量组（不能冗余）。因此，我们就可以说，方程中两个自由变量，对应着两个线性无关的向量的基础解系。而为了计算方便，一般就用0，1进行取值，只要保证这两个向量是线性无关的即可（否则就坍缩成一个向量了，而我们在假设1中也证明了，这是不可行的）。