4.2 平面与立体表面的交线——截交线

一、截交线

    平面与立体表面相交，该平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为截断面，如图4-12所示。     截交线的性质如下：     (1) 截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点；     (2) 由于立体表面是封闭的，因此截交线一般是封闭的线框；     (3) 截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。

http://hvpc.hep.com.cn/NCourse/jxzt/courseware/chapter4/images/4.2jiejiao.png平面与立体表面的交线——截交线" TITLE="4.2 平面与立体表面的交线——截交线" /> 图4-12 截交线与截断面

二、平面立体的截交线

截平面截切平面立体所形成的交线为封闭的平面多边形，该多边形的每一条边是截平面与立体棱面或顶、底面相交形成的交线。根据截交线的性质，求截交线可归结为求截平面与立体表面共有点、共有线的问题。

图4-13为六棱柱被正垂面截切后的投影。

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图4-13 六棱柱的截交线

    【例4-1】图4-14为一带切口的正三棱锥的正面投影，已知切口的正面投影，试画出三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。     分析：由于切口截平面由水平面和正垂面组成，故切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥底面平行，因此水平截面的侧面投影积聚成一条直线。由于组成切口的两个截平面都垂直于正投影面，所以两截面的交线一定是正垂线，画出以上交线的投影即可完成所求的投影。     作图：如图4-14所示。     (1) 由1′在as上作出1，过1作12∥ab、13∥ac，再分别由2′(3′)在12和13上作出2和3。由1′、2′、3′和1、2、3作出1″、2″、3″。1″、2″、3″在水平截面的积聚投影上。     (2) 由4′分别在as和a″s″上作出4和4″，然后再分别连接42、43和4″2″、4″3″，即完成切口的水平投影和侧面投影。     (3) 整理轮廓线，判别可见性。三棱锥被截切后，棱线SA中间ⅠⅣ段被截去，故投影中只保留a1和4s，a″1″和4″s″。切口两截面的交线ⅡⅣ的水平投影23不可见，应连成虚线。

三、回转体的截交线

    1． 圆柱的截交线：由于截平面与圆柱体的相对位置不同，截交线的形状也不同，可分为三种情况，见下表。

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   【例4-2】如图4-15所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线的投影。     分析：由于截平面与圆柱轴线倾斜，故截交线应为椭圆。截交线的正面投影积聚成直线。由于圆柱面具有积聚性，故截交线的水平投影与圆柱面的投影重合，侧面投影可根据圆柱面上取点的方法求出。     作图：     (1) 先找出截交线上特殊点的正面投影，它们是圆柱的最左、最右以及最前、最后素线上的点，也是椭圆长、短轴的四个端点。作出其水平投影和侧面投影。     (2) 再作出适当数量的一般点。     (3) 将这些点的侧面投影依次光滑地连接起来，就得到截交线的侧面投影。     (4) 整理轮廓线。

    2． 圆锥的截交线：由于截平面与圆柱体的相对位置不同，截交线的形状也不同，可分为五种情况，见下表。

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   【例4-3】如图4-16所示，一直立圆锥被正垂面截切，画出该截交线的水平投影和侧面投影。     分析：由于截平面倾斜于圆锥轴线，所以与圆锥面的截交线为椭圆。     作图：     （1）求特殊点 最低点Ⅰ、最高点Ⅱ是椭圆长轴的端点，也是截平面与圆锥最左、最右转向线的交点，可由V面投影1＇、2＇作出H面投影1、2和W面投影1＂、2＂。圆锥的最前、最后转向线与截平面的交点V、VI，其V面投影5＇、（6＇）为截平面与轴线V面投影的交点，根据5＇、（6＇）作点5＂、6＂，再由5＇、（6＇）和5＂、6＂求得5、6。椭圆短轴的端点Ⅲ、Ⅳ在V面上的投影3＇、（4＇）应在1＇2＇的中点处。H面投影3、4可利用辅助纬圆法（或辅助素线法）求得。再根据3＇、（4＇）和3、4求得3＂、4＂。     （2）求一般点 为了准确作图，在特殊点之间作出适当数量的一般点。如Ⅶ、Ⅷ两点,可用辅助纬圆法作出其各投影。     （3）依此连接各点即得截交线的H面投影与W面投影。

    3． 球的截交线：平面与球的截交线是圆。当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影反映实形，另两个投影积聚成直线。当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆。见下表。

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    4． 组合回转体的截交线：组合回转体是由若干个基本回转体组成，作图时首先要分析各部分的曲面性质，然后按照它的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出其投影。

    【例4-4】如图4-17所示，一连杆头由轴线为侧垂线的圆柱、圆锥和球组成。其前后各被正平面截切，画出该截交线的水平投影。     分析：球面部分的截交线为圆；圆锥部分的截交线为双曲线；圆柱部分未被截切。     作图：在图上确定球面与圆锥的分界线。从球心O′作圆锥正面外形轮廓线的垂线得交点a′、b′，连线a′b′即为球面与圆锥面的分界，以O3为半径作圆，即为球面的截交线。该圆与a′b′线交于1′、2′点，此即为截交线上圆与双曲线的结合点。然后画出圆锥面上的截交线即双曲线，就完成连杆头的正面投影，如图4-17所示。