补充+改编自华东师范大学第二附中实验班用教材。

    重要不等式是完全平方公式的一个显而易见的推论。它的形式是：，其中的a和b是任意实数，而当且仅当a=b时，原不等式中的等号成立。通过简单的移项和配方就可以证明这个简单的不等式。不过，有时人们也会通过勾股弦图证明重要不等式（如图1）。

    重要不等式可以被扩展到n元的情况，即：。

    基本不等式是由和代替重要不等式中的a和b得到的，即。有时也会将2移到左边，写成分式的形式。由基本不等式我们可以推出一条重要的结论，即最值定理：当x+y等于定值S时，xy在x=y时取到最大值；当xy等于定值P时，x+y在x=y时取到最小值。这条定理在今后用处颇多，而且小学时所学的“矩形周长一定时，正方形面积最大”也是由它所推知的。

    基本不等式也可以推广到n元，甚至还可以进一步加强。这就是接下来所要说的平均值不等式，或称均值不等式。

    我们把n个数的倒数加在一起，除（不是除以！）n，得到的结果称作这n个数的调和平均值，记作；把n个数乘积的n次方根，称作几何平均值，记作；把n个数相加后除以n（这次不是除而是除以啦）的结果，称作算术平均值，记作；把n个数的平方和除以n后，再取平方根的结果，称作方幂平均值，记作。于是，有。这个不等式叫做平均值不等式；当且仅当取平均值的各个数相等时，等号可以取到。把各项扩展开来看，就是：

    由于平方根的问题，平均值不等式的适用范围是全体正实数。

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