这些天复习矩阵分析的时候遇到了一个结论感觉挺好证明的，不过最后发现是有一些问题的。后来发现可以有一些推广，写在这里记录一下。原题是这样的：A为正定埃尔米特矩阵，B为反埃尔米特矩阵，证明AB和BA的特征值实部为0。

我把我最开始的想法写一下：首先，如果A和B都是方阵，AB和BA的特征值是一样的，而不管是埃尔米特还是反埃尔米特矩阵，都是方阵，所以其实只需要证明AB的特征值实部为0。

这里面用到了埃尔米特和反埃尔米特的性质。还有矩阵的共轭转置的特征值和原矩阵的特征值是共轭的。这一点比较容易证明：

还有矩阵取负号的特征值就是原矩阵特征值取负，证明方法和上面类似。

上式会得到-a-ib=a-ib，显然a=0。不过这个证明其实是有问题的，因为我上面这种意思就是AB矩阵的某一个a+bi的特征值共轭之后对应的特征值是a-bi，还有AB的a+bi对应BA的a+bi。如果一直是这种对应关系的话，这个是没有问题的，

问题就在于特征值之间的对应关系可以不是这样的。

比如说：

也就是说对应关系可以有很多种。可以有其它的对应方式，比如说AB的特征值为1+i和-1+i，然后共轭转置之后，我们把1+i和-1-i（-1+i的转置）对应，然后和-BA的-1-i对应，这不就相等了吗。按照上图中的对应关系，也就是-a-bi=c-di就要求，-a=c，b=d，也就是实部互为相反数，虚部一样。也就是说这样AB的特征值一定有这么若干对特征值，它们的实部互为相反数，且不为0，虚部相等，如果实部是0，可以不成对。所以并不能说明AB和BA的特征值实部为0，不过我们并没有用到正定的条件。不i过按照上面的方法，我暂时不知道该如何用这个条件。不过可以肯定的是，如果不要求A正定，那么就有我上面证明的这个结论，虽然上面并不是一个严格的证明。我还做了一些试验，下面用到了

一个简单的MATLAB程序：

a=rand(4,4);

b=rand(4,4);

c=a+b*i;

d=(c+c')/2;

a=rand(4,4);

b=rand(4,4);

c=a+b*i;

e=(c-c')/2;

eig(d*e)

eig(e*d)

这是四阶的情况。五阶的时候：

看起来应该是正确的。也就是实部要么为0，如果不为0，存在一对实部互为相反数，虚部相等的特征值。

最后我们回到A是正定的时候需要如何证明，这里需要用到一个结论，也就是如果A正定，必存在一个可逆矩阵Q，使得A=Q'Q，这个'在MATLAB里就是共轭转置的意思。

然后这个QBQH是反埃尔米特的，则AB的特征值就是实部为0的，这个是根据正规矩阵的结构分解得到的。

不知道这个定理有没有被发现过呢，这个还是用错误的解法证明的结论，因为我没有用到正定性，所以这个结论显然是适用范围更广的。