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1、多项式插值的存在独一性多项式插值的存在独一性拉格朗日插值拉格朗日插值, ,牛顿插值牛顿插值埃米特插值与三次样条埃米特插值与三次样条数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型两种典型的正交多项式两种典型的正交多项式习题课习题课 III 假设插值结点假设插值结点 x0, x1,xn 是是(n+1)个互异点个互异点,那那么满足么满足插值条件插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多次插值多项式项式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且独一。存在而且独一。多项式插值的存在独一性定理多项式插值的存在独一性定理nnnkkknyxlyxlyxlyxlxL)()()()()(110

2、00 Laglarge插值公式插值公式插值基插值基)()()()(110knknnkjjjkjkxxxxxxxxxl ( k = 0, 1, 2, , n )2/18插值误差余项插值误差余项)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn )()()(101nnxxxxxxx 其中其中,线性插值误差线性插值误差:)(2)()()()(11bxaxfxLxfxR )()(6)()()()(210)3(22xxxxxxfxLxfxR 二次插值误差二次插值误差:思索思索: :构造线性插值函数计算构造线性插值函数计算115115的平方根近似值，估的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有

3、效数位数。计近似值的误差并指出有效数位数。 3/18知知 x0, x1, , xn 处的值处的值 f(x0), f(x1), , f(xn).( j = 0,1,n-1 ) jjjjjjxxxfxfxxf 111)()(,jjjjjjjjjxxxxfxxfxxxf 212121,( j = 0,1,n-2 ) 均差的定义均差的定义)(,)(,)()()(011000 xxxfxxxfxxfxNnnn 牛顿插值公式牛顿插值公式1)(0 x )()()(1xxxxkkk ( k=1,2,n )思索思索: :证明一阶差商的对称性：证明一阶差商的对称性：fx0fx0，x1 = fx1x1 = fx1，

4、x0 x0，进一步证明二阶差商的对称性。，进一步证明二阶差商的对称性。 4/18)(,110 xxxxxfRnnn 牛顿插值余项牛顿插值余项jjyxH)(jjmxH)( j = 0, 1 )三次三次HermiteHermite插值插值)()()()()(11001100 xmxmxyxyxH 20110100)(21()(xxxxxxxxx 20100111)(21()(xxxxxxxxx 201100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 5/18给定给定a , b 的分划的分划: a = x0 x1 xn = b.知知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 假设

5、假设 ,),(,),(,),()(1212101nnnxxxxSxxxxSxxxxSxS满足满足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上为三次多项式上为三次多项式; (2) S(x)在区间在区间a，b上延续上延续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 那么称那么称S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.三次样条的定义三次样条的定义6/18111134jjjjjyyhmmm( j=1,2,n-1 )011032yyhmm1132nnnnyyhmm自然边境条件自然边境条件三次样条一阶导数值三次样条一阶导数值: S(xj)=mj (j = 0, 1, n) 三次样条二

6、阶导数值三次样条二阶导数值: S(xj)=Mj (j = 0, 1, n) 21111264hyyyMMMjjjjjj j = 1, n1 自然边境条件自然边境条件: M0 = 0 , Mn = 07/18拟合函数拟合函数: (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x)数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型离散数据离散数据 x x1 x2 xm f(x) y1 y2 ym mnmnmmnnyyyaaaxxxxxxxxx2110102212011110)()()()()()()()()( ya yaTT 超定方程组超定方程组)()(1yaTT 超定方程组最小二乘解超定方程组最小

7、二乘解:8/18对延续函数对延续函数 f(x) 的正交多项式平方逼近的正交多项式平方逼近 mnnnxpaxf0)()(其中其中 11)()(212),(),(dxxfxpnppfpannnnnEx1.设设x0，x1，xn 是互异的插值结点，是互异的插值结点，l0(x) 为对应于为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明的拉格朗日插值基函数，试证明)()()()()()(1)(010102010101000nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl 9/18Ex2.设设x0, x1, x2, , xn为互异的结点为互异的结点,求证求证 Lagrange 插值基函数满足以下恒等式插值基函数满足

8、以下恒等式1)(0 njjxl(1)knjjkjxxlx 0)(2)( k = 1,n )证证: (1)令令 1)()(0 njjnxlxP在插值结点处在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n )n 次多项式次多项式 Pn(x)有有 n+1 个相异零点个相异零点Pn(x) = 0 1)(0 njjxl10/18)()()()()()(00jnjjnjnjjxfxlxRxfxlxf 所以所以将将 f(x) = xk (k n) 代入代入, 得得knjjkjxxlx 0)(k =0,1,2,n)思索题思索题: f(x): f(x)是是(n+1)(n+1)次多项式且最高次项系数

9、为次多项式且最高次项系数为1 1，取互异的插值结点取互异的插值结点x0 x0，x1x1，xnxn，构造插值多，构造插值多项式项式Pn(x)Pn(x)，证明：，证明：f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x xn)xn)(2) 取取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =011/18Ex4. 设设 x0 x1 x2，从函数表，从函数表 x x0 x1 x2 f(x) y0 y1 y2出发出发, 利用利用 f(x) 的二次拉格朗日插值多项式的二次拉格朗日插值多项式 L2(x) 推导出求推导出求f(

10、x)的极值点的极值点 x* 的近似值计算公式的近似值计算公式. Ex3. 设设 P(x) 是不超越是不超越 n 次的多项式次的多项式,而而 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)证明存在常数证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得使得 nkkknxxAxxP01)()( 12/18Ex5.设有数列设有数列: x1, x2 , , xn , (1).证明平方和数列证明平方和数列 为为3阶等差数列阶等差数列 nknkS12证明证明: (1) Sn = n2 , 2Sn = n2(n-1)2 =2n-1 3Sn = (2n-1)-(2n-3)=2故平方和数列为故平方和数列为 3 阶等

11、差数列阶等差数列.)12)(1(61 nnnSn(2).证明证明2)1()(nngnggn 那那么么(2)令令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/613/182)1()(kkgkggk 同理同理( k = 1,2,n )显然显然)1()0()1(1gggg )()1()()(1112ngkgkgkgkSnknknkn nknkS12)12)(1(61)( nnnng14/18证明证明: F x0, x1, xn = njjnjxxf01)()( )()()()()()()(1100nnnxfxlxfxlxfxlxL )()()()(11jnjnjxxxxxl Ex6. 记记 n+1(x) =

12、(x x0)(x x1)(x xn)( j = 1,2, , n )(,)(,)()()(1011000 xxxxfxxxfxxfxNnnn 对比对比Lagrange插值和插值和Newton插值中插值中 xn 的系数的系数, 得得 F x0, x1, xn = njjnjxxf01)()( 15/18Ex7. 2 次埃尔米特插值的适定性问题次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：给定插值条件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什，插值结点应满足什么条件能使插值问题有独一解。么条件能使插值问题有独一解。 思索思索: 构造带导数条件的二次插值多项式公式构造带导数条件的二次插值多项式公式 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；16/18解解: 设设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2x 210210222120012101ymyaaaxxxxx2201xxx Ex8.假设假设 xa, b , t-1, 1,(1)证明联络两个区间的映射为证明联络两个区间的映射为tabbax22 )13(21)(22 ttp(2) 对于对于 t-1, 1上的二次正交多项式上的二次正交多项式将其转换为将其转换为xa, b 上的二次正交多项式上的二次正交多项式17/18