泊松分布是一种概率分布，用于描述一定时间内的随机事件发生的次数。它被广泛应用于各个领域，如统计学、物理学、计算机科学等。泊松分布的核心概念是泊松过程，它是一种随机过程，用于描述在一定时间间隔内随机事件的发生。泊松分布的核心参数是λ(拉普拉斯)，表示事件发生的平均率。

本文将从以下几个方面进行阐述：

泊松分布的历史可以追溯到18世纪的法国数学家和物理学家拉普拉斯(Simeon Denis Poisson)。拉普拉斯在1785年的一篇论文中首次提出了泊松分布，用于描述在一定时间间隔内随机事件的发生。随着时间的推移，泊松分布在各个领域得到了广泛的应用，如：

泊松分布是一种连续分布，其概率密度函数为：

$$ P(x;\lambda) = \frac{\e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} $$

其中，$x$ 表示事件发生的次数，$\lambda$ 表示事件发生的平均率。

泊松过程是一种随机过程，用于描述在一定时间间隔内随机事件的发生。泊松过程的核心特性是事件之间的独立性和均匀分布。具体来说，如果 ${N(t), t \geq 0}$ 是一个泊松过程，则：

泊松分布与其他概率分布之间存在一定的关系，例如：

要计算泊松分布的概率密度函数，需要遵循以下步骤：

具体的，我们可以使用以下公式计算概率密度函数：

$$ P(x;\lambda) = \frac{\e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} $$

累积分布函数(Cumulative Distribution Function，CDF)是一个随机变量的分布函数，用于描述随机变量取值的概率。对于泊松分布，累积分布函数为：

$$ F(x;\lambda) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} \frac{\e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$

要计算累积分布函数，可以使用以下步骤：

期望(Expectation，E)和方差(Variance，Var)是随机变量的两个基本统计量，用于描述随机变量的分布特征。对于泊松分布，期望和方差分别为：

$$ E(X;\lambda) = \lambda $$

$$ Var(X;\lambda) = \lambda $$

要计算期望和方差，可以使用以下步骤：

```python import math

def poissonpdf(x, lambda): if x < 0 or lambda_