类似于上一节中我们学习 Γ \Gamma Γ 分布的过程，在介绍 B \Beta B 分布之前，我们先来回顾一下在数学分析中学过的 B \Beta B 函数。首先给出 B \Beta B 分布的定义： B ( P , Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x   . \Beta(P,Q)=\int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}{\rm d}x \ . B(P,Q)=∫01​xP−1(1−x)Q−1dx . 其中 B ( P , Q ) \Beta(P,Q) B(P,Q) 的定义域为 P > 0 ,   Q > 0 P>0,\,Q>0 P>0,Q>0 ，原因是在此定义域范围内，反常积分收敛。利用 B \Beta B 函数的定义式，可以得到 B \Beta B 函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，特别需要注意的是 Γ \Gamma Γ 函数和 B \Beta B 函数之间的关系。

B ( P , Q ) = Q − 1 P + Q − 1 B ( P , Q − 1 )   , P > 0 ,   Q > 1   . B ( P , Q ) = P − 1 P + Q − 1 B ( P − 1 , Q )   , P > 1 ,   Q > 0   . B ( P , Q ) = ( P − 1 ) ( Q − 1 ) ( P + Q − 1 ) ( P + Q − 2 ) B ( P − 1 , Q − 1 )   , P > 1 ,   Q > 1   . \begin{aligned} &\Beta(P,Q)=\frac{Q-1}{P+Q-1}\Beta(P,Q-1) \ , \quad P>0,\,Q>1 \ . \\ &\Beta(P,Q)=\frac{P-1}{P+Q-1}\Beta(P-1,Q) \ , \quad P>1,\,Q>0 \ . \\ &\Beta(P,Q)=\frac{(P-1)(Q-1)}{(P+Q-1)(P+Q-2)}\Beta(P-1,Q-1) \ , \quad P>1,\,Q>1 \ . \\ \end{aligned} ​B(P,Q)=P+Q−1Q−1​B(P,Q−1) ,P>0,Q>1 .B(P,Q)=P+Q−1P−1​B(P−1,Q) ,P>1,Q>0 .B(P,Q)=(P+Q−1)(P+Q−2)(P−1)(Q−1)​B(P−1,Q−1) ,P>1,Q>1 .​

利用与 Γ \Gamma Γ 函数的关系，当 P P P 和 Q Q Q 趋近于无穷时，我们有 B ( P , Q ) ∼ 2 π P P − 1 2 Q Q − 1 2 ( P + Q ) P + Q − 1 2   . \Beta(P,Q)\sim\frac{\sqrt{2\pi}P^{P-\frac12}Q^{Q-\frac12}}{(P+Q)^{P+Q-\frac12}} \ . B(P,Q)∼(P+Q)P+Q−21​2π ​PP−21​QQ−21​​ . 所以当 P P P 和 Q Q Q 充分大时，我们也可以用 Stirling 公式来近似计算 B \Beta B 函数值。

具有下列密度函数的分布称为 B \Beta B 分布： p ( x ; a , b ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1   , 0 < x < 1   . p(x;a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} \ , \quad 00 a>0,b>0 称为形状参数。

上述密度函数的定义式是用 Γ \Gamma Γ 函数来表示的，如果利用 B \Beta B 函数与 Γ \Gamma Γ 函数的关系，可以将 B \Beta B 分布的密度函数写为： p ( x ; a , b ) = 1 B ( a , b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1   , 0 < x < 1   . p(x;a,b)=\frac{1}{\Beta(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} \ , \quad 0