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一、任何分布都能化为
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]均匀分布
假设
F
X
(
a
)
=
p
(
x
≤
a
)
F_X(a)=p(x\le a)
FX(a)=p(x≤a)为累积分布函数，
f
(
x
)
f(x)
f(x)为概率密度函数，
F
X
(
a
)
=
∫
−
∞
a
f
(
x
)
d
x
F_X(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx
FX(a)=∫−∞af(x)dx，则存在如下等式
P
(
F
X
(
X
)
≤
a
)
=
P
(
X
≤
F
X
−
1
(
a
)
)
=
F
X
(
F
X
−
1
(
a
)
)
=
a
P(F_X(X)\le a)=P(X\le F^{-1}_X(a))=F_X(F^{-1}_X(a))=a
P(FX(X)≤a)=P(X≤FX−1(a))=FX(FX−1(a))=a 则累积分布函数
Y
=
F
X
(
X
)
Y=F_X(X)
Y=FX(X)服从
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]间的均匀分布。
二、通过Box-Muller-Wiener算法，可以实现正态分布与均匀分布之间的转换
1.均匀分布转为正态分布
两个独立的
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]均匀分布，独立的随机变量为
A
,
B
A,B
A,B，以其中一个为角度
2
π
A
2\pi A
2πA，另一个随机变量为半径
−
2
l
o
g
B
\sqrt{-2logB}
−2logB
作为半径，在极坐标下可以得到一个点
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)，服从二维标准正态分布。
2.正态分布转为均匀分布
正态分布到均匀分布的逆过程可以理解为
A
=
arctan
(
Y
X
)
2
π
+
0.5
A=\frac{\arctan(\frac{Y}{X})}{2\pi}+0.5
A=2πarctan(XY)+0.5，
B
=
exp
(
−
X
2
+
Y
2
2
)
B=\exp(-\frac{X^2+Y^2}{2})
B=exp(−2X2+Y2)
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