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Abstract: 本文介绍中心极限定理 Keywords: The Central Limit Theorem，The Normal distribution，The Delta Method

读书的一个重要用途就是建立自己对事情的理解方法，在数学领域，尤其是概率和数理统计，学习这两门课程，可以让你对世界上所有的事情的理解改变一个角度，甚至统计最后可以解释哲学，那么这样解释自然的三种方法——神学，哲学，科学，就会被改成“神学”和“科学”了，如果哪天神学也被建模了，哈哈哈，世界大一统，这里并不是对宗教或者哲学家的任何不尊重，只是谈一个小想法😆

概率论快接近尾声了，本文讲完基本也就剩下一篇了，学了微积分，学了线性代数，学了数学分析，学了概率论，但是感觉自己还是没什么长进，这就是数学基础的困难，变现速度慢，但是作为长久投资，我相信是值得的。

本文我们介绍中心极限定理，上一篇的大数定理，围绕的一个核心观点就是，样本均值概率极限是分布均值。而今天的中心极限定理是描述样本均值的分布的。一个数量足够多的随机变量样本的样本期望（Sample Mean,一个随机变量）的期望是 μ \mu μ 以及有限的方差 σ 2 \sigma^2 σ2 那么他的分布近似于均值为 μ \mu μ 方差为 σ 2 / n \sigma^2/n σ2/n 的正态分布。这个结论可以帮助证明正态分布可以用来建模一些随机变量，当然这些随机变量是多个独立的部分组成的。

我们本文会提出Delta方法来帮助我们一组随机变量样本的期望的函数变化后产生的新随机变量。 中心极限定理和大数定理放在后面是有目的的，因为我们马上要过渡到数理统计，而前面我们说了，我们的主要应用时根据数据（已知样本）找模型，也就是我们在数理统计里面要研究的，而中心极限定理和大数定理给出的就是样本和模型之间的理论关系。

先举个🌰 ： 临床试验，100个患者将接受治疗，患者有 0.5的可能性接受治疗，而其本人不知道自己是否接受治疗，我们这里假设所有患者之间相互独立，本实验的目的是观察新的治疗能否提高患者的治愈率，随机变量 X X X 表示 100 个人中治愈的人数，如果接受治疗的治愈率是0.5和没有接受治疗治愈率的一样，那么 X X X 就是 n = 100 , p = 0.5 n=100,p=0.5 n=100,p=0.5 的二项分布，那么根据二项分布的随机变量的数值，可以描绘出如下的图片 如果我们绘制一个均值为 μ = 50 \mu=50 μ=50 方差为 σ 2 = 25 \sigma^2=25 σ2=25 的正态分布，刚好可以把这个二项分布包裹起来

在Poisson分布的学习中，当我们遇到 n n n 很大 p p p 很小，而 n p np np 有不大不小（这个标准有点含糊） 的时候可以用泊松分布来近似二项分布，上面的例子我们看出，当 n n n 很大而 p p p 又不太小的时候，正态分布可以用来近似二项分布。 中心极限定理就是一个形式化的描述，来描述正态分布是如何近似i.i.d的随机变量的一般和（随机变量）或者均值（样本均值，随机变量）的分布的。 在正态分布的那一课证明了 n n n 个独立同正态分布的的随机变量,如果其分布均值是 μ \mu μ 分布方差是 σ 2 \sigma^2 σ2 那么样本均值 X ˉ n \bar{X}_n Xˉn​ 也是正态分布，均值是 μ \mu μ 方差是 σ 2 / n \sigma^2/n σ2/n 而我们本篇就会介绍根据中心极限定理，无论原始分布是否是正态分布，其样本均值分布都可以用正态分布来近似，样本均值。 而对于样本是独立的不同分布的随机变量的话，我们也有一套中心极限定理能够建模这些样本的和。 注意，中心极限定理，有两个版本，就像微积分基本定理有两个一样，中心极限定理，一个针对独立同分布的样本，一个针对独立不同分布的样本，大家要注意区分。 首先来看同分布的，这个定理由 Lindeberg 和Levy 在1920s初期证明：

Theorem Central Limit Theorem(Lindeberg and Levy) If the random variables X 1 , … , X n X_1,\dots,X_n X1​,…,Xn​ form a random sample of size n n n from a given distribution with mean μ \mu μ and variance σ 2 \sigma^2 σ2 ( 0 < σ 2 < ∞ 0