行列式基础（《线性代数》学习笔记） |
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《线性代数》学习笔记
相关知识介绍引言二阶行列式三阶行列式
n
\ n
n阶行列式参考文献
相关知识介绍
排列 我们把由1,2,3,…,n组成的一个有序数组，称为
n
\ n
n级排列。 例如：12和21都是2级排列，123为3级排列。 那么3145是不是一个5级排列呢？ !!! 3145不是5级排列。 注：
n
\ n
n级排列中的数必须是连续的；
n
\ n
n级排列一共有
n
！
\ n！
n！种。逆序 在一个
n
\ n
n级排列中，如果较大的数排在较小的数前面，则称为逆序，记作
A
\ A
A。而逆序的总数称为逆序数，记作
N
(
A
)
\ N(A)
N(A)。 例如：排列4213中，数字“4”比数字“2”大，且排在“2”前面，则该排列是一个逆序。它的逆序数记作
N
\ N
N(4213)=3+1+0=4。(4后面有3个数比4小，2后面有1个数比2小，1后面有0个数比1小。) 逆序数为偶数时，称为偶排列；逆序数为奇数时，称为奇排列。 特别地，对
N
(
123
…
n
)
=
0
\ N(123…n)=0
N(123…n)=0，称
123
…
n
\ 123…n
123…n为标准排列，或自然排列。 对
N
(
n
(
n
−
1
)
…
21
)
=
n
−
1
+
(
n
−
2
)
+
…
+
2
+
1
=
(
n
−
1
)
n
2
\ N(n(n-1)…21)=n-1+(n-2)+…+2+1=\frac{(n-1)n}{2}
N(n(n−1)…21)=n−1+(n−2)+…+2+1=2(n−1)n 为避免出错，数逆序数时，从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，再求出累和。对换 在一个
n
\ n
n级排列中，交换两个数字的位置，称为对换。 例如：排列12345（奇排列）和13245（偶排列）就是数字2和数字3的位置进行了对换。 注：① 一个排列做偶数次对换，奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，奇偶性会发生改变。特别地：一个排列经过1次对换，奇偶性会发生改变。 ② 在
n
\ n
n级排列中，奇排列、偶排列的个数各有
n
!
2
\frac{n!}{2}
2n!个。
引言
学习 n \ n n阶行列式之前，我们可以先回顾一下二元一次方程组的求解过程。假设有二元一次方程组如下所示： { 5 x + 6 y = 7 9 x + 4 y = 3 \begin{cases} 5x+6y = 7 \\ 9x+4y = 3 \end{cases} {5x+6y=79x+4y=3 通常的思想是：用消元法求解 x \ x x和 y \ y y。 也就是分别将方程组变形为 { 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ① 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ② \begin{cases}5×9x+6×9y = 7×9\ ① \\9×5x+4×5y = 3×5\ ②\end{cases} {5×9x+6×9y=7×9 ①9×5x+4×5y=3×5 ②和 { 5 × 4 x + 6 × 4 y = 7 × 4 ① 9 × 6 x + 4 × 6 y = 3 × 6 ② \begin{cases}5×4x+6×4y = 7×4\ ① \\9×6x+4×6y = 3×6\ ②\end{cases} {5×4x+6×4y=7×4 ①9×6x+4×6y=3×6 ②，再分别用 ① − ② \ ①-② ①−②求得 x \ x x和 y \ y y的值，即： x = 3 × 6 − 7 × 4 9 × 6 − 5 × 4 , y = 7 × 9 − 3 × 5 9 × 6 − 5 × 4 \ x=\frac{3×6-7×4}{9×6-5×4} ,\ \ y=\frac{7×9-3×5}{9×6-5×4} x=9×6−5×43×6−7×4, y=9×6−5×47×9−3×5 假设我们定义一种新的运算： ∣ a b c d ∣ = a d − b c ( 1 ) \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc\ \ \ \ (1) ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc (1) 则上述 x \ x x和 y \ y y的值可以用新运算表示为： x = ∣ 3 7 4 6 ∣ ∣ 9 5 4 6 ∣ , y = ∣ 7 3 5 9 ∣ ∣ 9 5 4 6 ∣ \ x=\frac{\begin{vmatrix}3 & 7 \\4 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}} ,\ \ y=\frac{\begin{vmatrix}7 & 3 \\5 & 9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}} x=∣∣∣∣9456∣∣∣∣∣∣∣∣3476∣∣∣∣, y=∣∣∣∣9456∣∣∣∣∣∣∣∣7539∣∣∣∣ 这里提到的新运算 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc，就是我们所要学习的二阶行列式的运算。 二阶行列式 二阶行列式通常写作：
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣ ① 对任一元素
a
i
j
a_{ij}
aij，
i
i
i是元素
a
i
j
a_{ij}
aij的行标，
j
j
j是元素
a
i
j
a_{ij}
aij的列标。例如：
a
11
a_{11}
a11代表该行列式第1行第1列的元素。 ② 主对角线（左）和次对角线（右）示例： 小练习 （1） 计算 ∣ 1 3 7 9 ∣ \begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix} ∣∣∣∣1739∣∣∣∣的值 解： ∣ 1 3 7 9 ∣ = 1 × 9 − 3 × 7 = − 12 \begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix}=1×9-3×7=-12 ∣∣∣∣1739∣∣∣∣=1×9−3×7=−12 （2） 计算 ∣ 吱 美 女 雨 ∣ \begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix} ∣∣∣∣吱女美雨∣∣∣∣的值 解： ∣ 吱 美 女 雨 ∣ = 吱 雨 一 美 女 \begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix}=吱雨一美女 ∣∣∣∣吱女美雨∣∣∣∣=吱雨一美女 三阶行列式 与二阶行列式类似的，通常将三阶行列式写作：
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣ 用画线法可以得到三阶行列式的求解结果： 小练习 计算 ∣ 1 2 0 0 2 1 1 0 1 ∣ \begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣101220011∣∣∣∣∣∣的值 解： ∣ 1 2 0 0 2 1 1 0 1 ∣ = 1 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 + 0 × 0 × 0 − 0 × 2 × 1 − 2 × 0 × 1 − 1 × 1 × 0 = 4 \begin{aligned}\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix}&=1×2×1+2×1×1+0×0×0-0×2×1-2×0×1-1×1×0\\&=4\end{aligned} ∣∣∣∣∣∣101220011∣∣∣∣∣∣=1×2×1+2×1×1+0×0×0−0×2×1−2×0×1−1×1×0=4 由画线法，我们可以将三阶行列式展开为如下形式： ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 12 a 23 a 31 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 = ① + ② + ③ − ④ − ⑤ − ⑥ \begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\\&= \ \ \ \ \ \ \ ①\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ②\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ③\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ④\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑤\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑥\end{aligned} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32= ① + ② + ③ − ④ − ⑤ − ⑥ 观察展开式中的每一项，我们可以得到如下结果： 第 i 项符号行 标列 标列标的逆序数①+1231230（偶排列）②+1233122（偶排列）③+1232312（偶排列）④-1233213（奇排列）⑤-1232131（奇排列）⑥-1231321（奇排列）由上述对比，我们可以发现，对于三阶行列式的展开式： 行标始终取为标准排列列标取遍排列的所有可能从不同行不同列取出三个元素相乘，其符号由列标排列的奇偶性决定像这样的展开方式，我们称之为按行展开。 n \ n n阶行列式由上述规律，我们可以很快的写出n阶行列式按行展开的式子： ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ j 1 , j 2 , ⋯ , j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22}&\cdots& a_{2n}\\\vdots &\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1,j_2,\cdots,j_n}(-1)^{N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=j1,j2,⋯,jn∑(−1)N(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn 行列式通常用字母 D \ D D表示，上述 n \ n n阶行列式也可以直接写作： D = ∣ a i j ∣ \ D=|a_{ij} | D=∣aij∣ 注：只有一个数的行列数，就代表这个数。例如： ∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}|=a_{11} ∣a11∣=a11、 ∣ − 1 ∣ = − 1 |-1|=-1 ∣−1∣=−1（与绝对值符号相区别） 常见的几种三角行列式（除阴影部分有数值，其余部分都为0） 名称形状特点上三角 以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a11a12⋯a1n下三角 以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a11a12⋯a1n对角形 以主对角线为分割，展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a11a12⋯a1n山寨上三角 以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
(−1)2n(n−1)a11a12⋯a1n山寨下三角 以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
(−1)2n(n−1)a11a12⋯a1n山寨对角形 以次对角线为分割，展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
(−1)2n(n−1)a11a12⋯a1n
小练习 将行列式 D 1 = ∣ 1 2 3 8 1 1 0 4 2 2 0 5 1 0 0 9 ∣ \ D_1=\begin{vmatrix}1 & 2& 3&8\\1 & 1&0& 4\\2 &2& 0&5\\ 1 & 0& 0&9\end{vmatrix} D1=∣∣∣∣∣∣∣∣1121212030008459∣∣∣∣∣∣∣∣按行展开。 参考文献[1] 宋浩.《线性代数》全程高清教学视频 “惊叹号”系列[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/av29971113?from=search&seid=4757026773102990321,2019-6-12. 下篇笔记地址→ 行列式性质 |
③ 二阶行列式运算可以简单记忆为：主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积，用式子表示为：
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21
我们可以发现上述结果具有：“三正、三负、共六项”的特点。【本文地址】