【复习笔记】线性代数

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【复习笔记】线性代数

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一、向量的概念和运算

二、向量组的表出与线性相关的概念

三、判别线性相关性的七大定理

一、向量的概念和运算

1、n维向量：n个数构成的一个有序数组 $\large [a_{1},....a_{n}]$ 称为一个n维向量，记成 $\large \alpha =[a_{1},...a_{n}]$

2、运算：相等，加法，数乘

二、向量组的表出与线性相关的概念

1、线性组合

2、线性表出

3、线性相关

对m个n维向量， $\large \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m},$ ，若存在一组不全为0的数， $\large k_{1},...k_{m}$ ，使得

$\large k_{1}\alpha _{1}+...+k_{m}\alpha_{m}=0$ ,

则称该向量组线性相关。

4、线性无关

与线性无关相反，向量组或线形无关或线形相关，二者必居其一。

单个非零向量，两个不成比例的向量均线性无关。

三、判别线性相关性的七大定理

定理1 向量组 $\large \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m},$ 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的m-1个向量线性表出。

证明：

（必要性）

设向量组线性相关，则存在m个不全为0的数， $\large k_{1},...k_{m}$ ，使得 $\large k_{1}\alpha _{1}+...+k_{m}\alpha_{m}=0$

因为不全为0，不妨设 $\large k_{1}\neq 0$ ，则 $\large \alpha_{1}=-\frac{k_{2}}{k_{1}}\alpha_{2}-...\frac{k_{m}}{k_{1}}\alpha_{m}$ ，证明完毕；

（充分性）

设 $\large \alpha_{1}$ 可用 $\large \alpha_{2},...\alpha{m}$ 线性表示，即 $\large \alpha_{1}=l_{1}\alpha_{2}+...+l_{m}\alpha_{m}$ ，

于是 $\large \alpha_{1}-l_{1}\alpha_{2}-...-l_{m}\alpha_{m}=0$ ，

显然， $\large 1,-l_{2}...,-l_{m}$ 不全为0，则向量组线性相关，证明完毕。

定理2 若向量组 $\large \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m},$ 线性无关，而 $\large \beta ,\large \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m},$ 线性相关，则 $\large \beta$ 可由 $\large \alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{m},$ 线性表出，并且表示法唯一

证明：

因为加上 $\large \beta$ 后线性相关，则可以得到存在不全为0的系数使向量组的线性组合为0，又因为加上 $\large \beta$ 前的向量组线性无关，所以除了 $\large \beta$ 的系数全为0，将线性组合移项可得到 $\large \beta$ 的线性表达。

假设有两种不同的表示法，

$\large \beta=l\alpha ,\beta=h\alpha$

于是相减得.

$\large (l-h)\alpha=0$

因为向量组 $\large \alpha$ 线性无关，所以必有 $\large l-h=0$

与假设矛盾，故线性表示的表示法唯一。

表示法唯一也可以这么理解：因为向量组 $\large \alpha$ 线性无关，可以认为向量组中的每一个向量只能表示一个维度的度量，如向量（0，0，1），（0，1，0）（1，0，0），几何意义来说，只表示xyz各自方向，互不影响，独立，组合起来表示的是一个空间物体，物体是唯一的，那么表示法也是唯一的。

定理3 如果向量组 $\large \beta_{1},...\beta_{t}$ 可由向量组， $\large \alpha_{1},...\alpha_{s}$ 线性表达，且 $\large ts$ ，则 $\large \beta_{1},...\beta_{t}$ 线性相关。

（高维空间可以表示低维空间，反之则不可）

证明：设出 $\large \beta_{1},...\beta_{t}$ 的所有的含 $\large \alpha_{1},...\alpha_{s}$ 线性表达（k），因为 $\large \beta_{1},...\beta_{t}$ 线性相关，则其存在不全为0的系数（l），使向量组的线性组合为0。

令t=3，s=2，设

$\large \left\{\begin{matrix} \beta_{1}=k_{11}\alpha_{1}+k_{21}\alpha_{2}\\ \beta_{2}=k_{12}\alpha_{1}+k_{22}\alpha_{2}\\ \beta_{3}=k_{13}\alpha_{1}+k_{23}\alpha_{2} \end{matrix}\right.$

需证明存在 $\large l_{1},l_{2},l_{3}$ ，

使得 $\large l_{1}\beta_{1}+l_{2}\beta_{2}+l_{3}\beta_{3}=0$

代入发现三个未知数 $\large l_{1},l_{2},l_{3}$ ，而只有两个方程，故必存在非零l使得方程成立（可以给定一个，求解另外两个）。

从几何上来理解，这个也相当于，三维空间，令某一维不表出（为0）从而可以表出二维的向量。而二维向量无法表出三维。（x,y,z）能表示空间包含了平面的向量与（x,y）只能表示平面的向量。

定理4 向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 $\large Ax=0$ 有非0解。

$\large x_{1}\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{n1} \end{bmatrix}+x_{2}\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ ...\\ a_{n2} \end{bmatrix}+...+ x_{m}\begin{bmatrix} a_{1m}\\ a_{2m}\\ ...\\ a_{nm} \end{bmatrix}=0$

注：如果 $\large n m$ ，即方程个数小于未知数个数（一行表示一个方程，一列表示一个未知数，n表示未知数的维度），则求解时必有自由未知量。

因此任何n+1个n维向量组成的向量组都是线性相关的。任何一个线性无关的n维向量组最多只能含有n个向量。

定理5 向量 $\large \beta$ 可以由向量组线性表出的充要条件是 $\large Ax=\beta$ 有解。（相当于加上 $\large \beta$ 之后的向量组的秩不变）

定理6 如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。（已经存在不全为0使向量组合为0，再加上就算后面的系数全为0，也满足线性相关的条件，是增加列不改变线性相关）

定理7 如果一组n维向量线性无关，则把这些向量增加m个分量得到的新向量（n+m维）也是线性无关的。（只有全0才能满足之前n维的组合为0，再加多行也无济于事。未知数都确定为0，再加方程的数量也改变不了）

如果向量组线性相关，那么去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。（已经存在不全为0的系数使向量组合为0，就算去掉行，方程变少，未知数的量不变，所以也同样满足）

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