线性代数的学习和整理5：矩阵的加减乘除及其几何意义

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线性代数的学习和整理5：矩阵的加减乘除及其几何意义

2024-05-26 13:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

1 矩阵加法

1.1 矩阵加法的定义

1.2 加法的属性

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加

1.2.1 矩阵加法的可交换律：

1.2.2 矩阵加法的可结合律：

1.3矩阵加法的几何意义

2 矩阵的减法

2.1 矩阵减法定义和原理基本同矩阵的加法

2.2 矩阵减法的几何意义

3 矩阵标量乘法/ 也称数乘

3.1 数乘的定义

3.2 矩阵的标量乘法的性质

3.3 几何意义：就是正向/反向的伸缩

4 左乘 & 右乘（很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）

4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘

4.3 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵的点乘：得到的点积/内积

5.1 详细的矩阵乘法规则

5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘

5.1.2 矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A

5.2 矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义

6 矩阵的叉乘：得到的外积/叉积

6.1 定义

6.2 几何意义

7 矩阵求逆(逆矩阵)

7.1 逆矩阵定义

7.2 求逆矩阵的方法

7.3 求逆矩阵的规则

7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵

7.4 逆矩阵的函数意义

7.5 逆矩阵的几何意义

8 带引号的“矩阵除法”

8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解

8.2 矩阵除法的几何意义（？）

1 矩阵加法 1.1 矩阵加法的定义矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。

1.2 加法的属性

可结合律和可交换律

1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加（1,2）+(1,2,3) 无法计算如何合法可加，生成的结果也是一个向量 1.2.1 矩阵加法的可交换律： A+B=B+A看坐标系，表示从上面走先走b，再走a到达C，和从下面先走a,再走b到达C是一样的。 1.2.2 矩阵加法的可结合律： (A+B)+C=A+(B+C)看坐标系，表示3个矩阵相加，先计算A+B,再计算A+B+C 和先计算B+C 结果是一样的。

1.3矩阵加法的几何意义看下图，实际是向量的相加，是有方向性的，不是简单的相加而无论2个，还是3个向量相加，都可以用三角形发展继续相加，生成的新向量就是矩阵相加的和----一个新向量

2 矩阵的减法 2.1 矩阵减法定义和原理基本同矩阵的加法虽然一般不说矩阵减法，但原理上OK，EXCEL里计算也OK

2.2 矩阵减法的几何意义矩阵的减法和加法其实是类似的，但是几何意义不同加法是2个向量，首尾相接，形成新的向量--和向量减法是1个减数向量，开始指向另1个被减数的向量，形成的新向量：差向量。如可以可以挪到原点，从原点出发，可以看出如下图，和从原点出发，而数字为减法后得数的终点作为坐标的向量，是相同的。为什么一定要挪回到原点看，因为向量空间里要求所有的向量都是从原点出发，终点坐标代表其坐标的向量。

3 矩阵标量乘法/ 也称数乘 3.1 数乘的定义 λ*(A+B) =λ*A+λ*B就是标量*矩阵对应位置元素，类整数的乘法

3.2 矩阵的标量乘法的性质可结合性：a*X={ax1,ax2,ax3.....axn]可交换性： a*X=X*a

3.3 几何意义：就是正向/反向的伸缩如果乘以正数，就是正向伸缩如果乘以负数，就是反向伸缩如果乘以a>1，就是伸长，如果a=0.5 就是缩短

4 左乘 & 右乘（很简单概念，但是需要界定语言的严谨性） 4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？比如 Ax=y主体：变量? 那变量 x 左乘矩阵A主题，矩阵？那矩阵A 右乘变量x

4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘 A*B ≠ B*AA*B 是A右乘B，是A的右边乘以BB*A 是A左乘B，是A的左边乘以B

4.3 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A

5 矩阵的点乘：得到的点积/内积在EXCEL里，使用函数 mmult()+ 选择好生成矩阵的长宽区域+数组公式注意要提前计算好目标矩阵的大小，比如 n*m矩阵* m*k的矩阵，结果是 m*k的矩阵

5.1 详细的矩阵乘法规则 5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘

并不是任意2个矩阵都可以相乘

只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘，也就是前者的列数=后者的行数aij= 矩阵1的第i行* 矩阵2的第j列的结果

本质规则

是两个矩阵元素的投射形成的新矩阵

5.1.2 矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A 矩阵乘法要详细考虑次序，不能交换A*B ≠ B*A矩阵乘法的具体公式：需要考虑展开，后面详细再说

5.2 矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义矩阵的内积得到的是一个标量，也就是具体的数，而不是矩阵。下图是网上找的向量的内,外积及其几何含义讲解_两向量外积的几何意义-腾讯云开发者社区-腾讯云概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

https://cloud.tencent.com/developer/article/2157496

6 矩阵的叉乘/向量乘法：得到的外积/叉积 6.1 定义没学过，还不太清楚，下面是转载的外积的内容有点像把矩阵的每个元素，当成一个分块矩阵，分别与另外一个矩阵相乘得到的结果是一个矩阵

6.2 几何意义据说，2个向量的外积表现为这2个向量所构成的平行六面体的体积！

7 矩阵求逆(逆矩阵) 7.1 逆矩阵定义矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。A*B=I/E若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。逆矩阵比然唯一

7.2 求逆矩阵的方法主要是利用 A*A-=I 标准矩阵

7.3 求逆矩阵的规则 7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵特殊条件是：方阵满秩的双射矩阵

满足这些条件的矩阵才可以求逆

7.3.2 比较方便的快速判断方法，判断标准如下如果矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；如果小于n，不可逆。若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆；对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆；对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。

7.4 逆矩阵的函数意义如果把矩阵看成函数那么函数，只有当定义域到值域是单射，且值域都是满射时，也就是定义域到值域是双射时才会有反函数同理，也只有这时，矩阵才会有逆矩阵。

7.5 逆矩阵的几何意义常见矩阵乘法 Ax=y，可以认为是把x从自然基底（正交的一组特殊基底）变换为斜的新坐标系。那么，逆矩阵就是反过来，把斜坐标系再给转换为正交的自然基底。

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8 带引号的“矩阵除法” 8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解这个除法实际只是一个类比，并不是真正的矩阵除法！

这个题目的意思是：

如果知道，A矩阵*B矩阵=C矩阵

但是A矩阵已知，C矩阵也已知，如何求B矩阵？

A矩阵*B？矩阵=C矩阵

A*B？=C 那么B？=？其实B=A-*C 而不是C*A-

一定注意矩阵的次序，很重要！！正确的，B=A~*C，而且B !=C*A-错误的，B =C*A-因为如下推导 A*B= A*A-*C =I*C=CA*B= A*C*A- !=C

8.2 矩阵除法的几何意义（？）这个应该就是函数变换吧，暂时不知道其几何意义是什么A*B= A*A-*C =I*C=CB=A-*C

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