在圆锥曲线1中介绍了，圆锥曲线在平面直角坐标系下的统一方程。统一方程的好处是各参数具有强烈的几何意义。统一方程的不足是有的圆锥曲线其不能表达（比如圆），而且在采用5点法，解统一方程的时候也不是那么好解。   由此我们要寻找一种更具包容性的方程，使得其能够表达各种圆锥曲线。在平面直角坐标系下，这样的方程都是二次方程，这也是为什么圆锥曲线被称为二次曲线的原因。

一般方程： a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 其中 x , y x,y x,y为变量； a , b , c , d , e , f a,b,c,d,e,f a,b,c,d,e,f为实参量，且要求 a , b , c a,b,c a,b,c不全为零。

说明：这个方程是一个二元二次方程，根据系数的不同可以表示所有的二次曲线，圆锥曲线是二次曲线，所以这个方程能表示所有的圆锥曲线。

显然圆锥曲线的标准方程稍加变形就能得到一个一般方程形式。 比如椭圆标准方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1，变形得到一般方程形式 b 2 x 2 + a 2 y 2 − a 2 b 2 = 0 b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0 b2x2+a2y2−a2b2=0。

注意：一般方程的参数同时乘以一个不为零的实数，改方程所表达的曲线不变。

1、可以表达一点 比如 x 2 + y 2 = 0 x^2+y^2=0 x2+y2=0就表示 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点。 2、可以表达一线 ( x + y + 1 ) 2 = 0 (x+y+1)^2=0 (x+y+1)2=0，就表达一条直线 x + y + 1 = 0 x+y+1=0 x+y+1=0 3、可以表达两条平行直线 ( x + y + 1 ) ( x + y + 2 ) = 0 (x+y+1)(x+y+2)=0 (x+y+1)(x+y+2)=0 4、可以表达两条相交直线 ( x + y + 1 ) ( 2 x + y + 1 ) = 0 (x+y+1)(2x+y+1)=0 (x+y+1)(2x+y+1)=0 5、可以表达各圆锥曲线

将5个点的坐标依次代入一般方程，就能够得到一个线性方程组，那么求解一般方程就转化为了解这个线性方程组。 假设5个点各不相同，那么有如下结论： 1、如果5点中任意三点不共线，那么会得出一个圆锥曲线方程的解； 2、如果只有三点共线（即任取四个点都不共线），那么是两条相交直线。 3、如果只有四点共线，那么可以得出一条确定的直线和过另一点的任意直线。 4、如果五点共线，那么得出一条确定直线和另一任意直线。

说明：一般方程确实有非常好的表达力，但是其几何意义不直观，并不能从一般方程直接寻找到圆锥曲线的几何量。一般方程可以通过坐标变换来化简，这留待以后讨论。

一条曲线一般可以有无数种参式表达，圆锥曲线也不例外。下面选取的圆锥曲线的参式表达中的参数都具有较为明确的几何意义。

三角函数形式： { x − x 0 = r ⋅ c o s θ y − y 0 = r ⋅ s i n θ \left\{ \begin{matrix} x - x_0=r \cdot cos\theta \\ y - y_0=r \cdot sin\theta \end{matrix} \right. { x−x0​=r⋅cosθ