前言：通常我们研究圆锥曲线时采用解析几何的方法，数形结合，基本离不开坐标系和方程。未免有人思考：圆锥曲线一定要放在坐标系中吗？

Up结合自己所阅读的书籍，写下这一系列文章。这一系列文章中，我们将圆锥曲线从坐标系中“拿出来”，以欧式几何的角度研究圆锥曲线（除了概念的引入/滑稽）。

接下来开始第一章：抛物线

一：抛物线

首先是抛物线的定义：平面内到定点(F)和定直线(l)的距离相等的点的轨迹。

其中定点F被称为抛物线的焦点，定直线l被称为抛物线的准线（当然F不在准线l上）。如图（当然它的开口方向是可以改变的，不一定总是朝右）

I.标准方程：为了方便起见，我们把焦点F放到x轴上，同时x轴垂直于准线l，以F到l距离的中点为原点建立平面直角坐标系。

记F到准线距离为p，记F到准线距离为p

那么显然F（p/2,0）,l:x=-p/2

设P为抛物线上任意一点，作PH⊥l，根据抛物线定义，有PF=PH

即

给这玩意化简一下，得到

这就是抛物线的标准方程。

II.对称性：如果我们以-y代替y，方程不变，即抛物线关于x轴对称。我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴（这里是x轴）

III.顶点：抛物线与轴的交点称为抛物线的顶点（这里顶点是原点O）

IV.焦点弦：若抛物线的弦AB过焦点F，则称弦AB为焦点弦（由抛物线定义易得AB=x1+x2+p）。特别地，当焦点弦垂直于轴时称为通径。

注：之后的F，l，O分别表示焦点，准线，顶点。没有注明的情况下，P为抛物线上不为顶点的任意一点。

介绍完抛物线的基础知识，我们开始从欧式几何的角度研究其本身更多的几何性质：

由抛物线定义，AM=AF，故∠AFM=∠AMF=∠KFM ⇒MF平分∠AFK，

同理，NF平分∠BFK，故∠MFN=∠KFM+∠KFN=180°/2=90°

（2）

如图，取AB中点J，作JH⊥准线于H，只需证明JH=AB/2即可

结合梯形中位线定理和抛物线定义，得JH=(AM+BN)/2=(AF+BF)/2=AB/2，得证。

（3）这题有一定技巧性，首先需要分类讨论

易证△BDF∽△FEA ⇒BF/AF=DF/EA，即BF/DF=AF/EA，即BN/DF=AM/EA ⇒BN/(KF-BN)=AM/(AM-KF)，即(KF-BN)/BN=(AM-KF)/AM⇒(KF/BN )-1=1-(KF/AM)

即(p/BF)-1=1-(p/AF)

整理得(1/AF)+(1/BF)=2/p

定义：抛物线上一点(P)到轴的垂线段(PN)称为该点的纵标线

定义：轴在顶点(O)和纵标线之间的部分(AN)叫做横标线

（这个定义应该不难理解吧）

命题2：若P为抛物线上一点,其纵标线为PN，则有PN^2=4(OF•ON)

证明：如图（这里只画出了N在线段OF外的情况），作PM⊥准线于M

结合抛物线定义和勾股定理，有KN^2=PM^2=PF^2=FN^2+PN^2

即PN^2=KN^2-FN^2=(2•OF+FN)^2-FN^2=4OF(OF+FN)=4OF•ON

定理3：抛物线的弦AB延长后交准线l于K，则FK平分外角∠BFC

证明：如下图，分别过A,B作准线的垂线，垂足为M,N

由抛物线定义BF=BN,AF=AF，从而BF/AF=BN/AM=KB/KA，故KF平分外角∠BFC（角平分线定理的逆定理）

推广-尺规作图：已知抛物线的焦点F，求作抛物线的准线l

解析：如图，在抛物线上（下）部分任取两个点A,B并连接，同时连AF,BF(BF的延长线交抛物线于C)作∠BFC的平分线FK，交AB延长线于K，由“定理3”，K在准线上

由“两点确定一条直线”，只需再找出准线上另外任意一点即可

思路1：在进行一次和上述相同的操作，得到另一点，与K连接即得准线

思路2：结合抛物线定义，如下图，不妨以A为圆心AF为半径作圆

则准线与圆相切，所以只需过K作圆切线即可：再以AK为直径作圆，与⊙A其中一合适交点为H

命题4：已知P为抛物线上一点（不与顶点重合），若抛物线在P点处的切线交准线l于Q，则∠PFQ=90°

证明：如图，取靠近P的一点P’连接PP’交准线于M，连MF，则由“定理3”MF平分∠P’FK

当P’逐渐向P移动时，∠P’FK逐渐增大

当P’与P重合时，M与Q重合，割线变为切线，此时∠P’(P)FK=180°而FM(Q)平分∠P’FK，故∠PFQ=180°/2=90°，得证。

定理5-抛物线的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴（光学性质实为切线法线性质的推广）

翻译成几何语言：已知P为抛物线上一点，在P点处的切线交准线于Q，若作PH⊥准线l于H，则∠HPQ=∠FPQ（这里其实是用了一次对顶角相等）

通常的书刊中采用解析几何法，计算较为复杂，不是最好的方法，接下来up介绍两种平面几何法

证明：

看似很难的一个问题，如果我们利用“命题4”的结论，那么自然迎刃而解了：连接FQ，由“命题4”，得∠PFQ=90°

由抛物线定义，PF=PH又PQ=PQ，故Rt△PHQ≌Rt△PFH，得∠HPQ=∠FPQ  证毕

另证-夹逼法：原命题等价于证明F关于切线的对称点在准线上

作焦点F关于切线的对称点F’，同时作F’N⊥准线l于N，反向延长交抛物线于M

易得PF’=PF=PH，故F在准线l上或右边(别忘了垂线段最短),故MF’≤MN=MF……#

同时由于M在切线上或右侧，得到MF’≥MF，结合#得MF’=MF即M在切线上，又M在抛物线上，故M与P重合，此时F’与H也重合

命题6：若抛物线上P点处的切线交轴于M，作PN⊥切线于N（即PN为法线），则PF=MF=FN

证明：作PH⊥准线于H，

结合抛物线的光学性质和平行线的性质，得∠PMF=∠HPM=∠FPM⇒PF=MF，再利用∠MPN为直角，不难通过导角得PF=FN，故PF=MF=FN

命题7：若抛物线在P点处的切线交轴于K，PH为P点处的纵标线，则O为KH中点

证明：作PP’⊥准线l

结合“命题6”，和抛物线定义，易得PP’=PF=KF，同时PP’=MH，故KF=MH

即KM+MF=HF+MF⇒KM=FH⇒KM+OM=FH+OM（别忘了OM=OF）即OK=OH

命题8：若抛物线在P点处的切线交轴于M，PM与顶点O处的切线交于A，则AF为OF和PF的比例中项（即AF^2=OF•PF）

证明：如图，作PH⊥轴于H，

由“命题8”，得O为MH中点，同时OA∥PH，故OA为△PHM的中位线⇒A为PM中点

命题“6”FP=FM即△PFM为等腰三角形，从而AF⊥PM且∠OFA=∠PFA

故△OAF∽△APF⇒AF^2=OF•PF

命题9-亚当斯性质：已知P点处切线上任意一点Q，若作QI⊥准线l于I, QU⊥PF于U，则FU=QI

证明：如图，作PH⊥准线l、于H，同时连接MF，

由“命题4”得∠MFP=90°

从而FU/FP=MQ/MP==IQ/PH⇒FU/IQ=FP/PH=1（用到了抛物线定义）

10.尺规作图：已知抛物线焦点，过抛物线外一点P作两条切线

解析：方法很多，这里提供一种比较实用的方法

步骤1：通过上文提到的方法作出准线l（你可以回去看看）

步骤2：以P为圆心，PF为半径作圆，交准线于F1,F2

步骤3：过F1, F2作准线l的垂线AF1,BF2，交抛物线于A,B

步骤4：连接PA,PB。PA,PB即为切线

证明:如图，

由光学性质和抛物线定义，得∠F1AP=∠FAP，AF1=AF，故△AFP≌△AF1P⇒PF=PF1，同理，PF=PF2，故PF=PF1=PF2，得证

命题11：若过抛物线外一点P引两条切线PA，PB（A,B为切点），则∠PFB=∠PFA且△FPB∽△FAP

证明：由“10尺规作图”易得∠PFB=∠PFA

如图，作顶点O处的切线交PA,PB于M,N；连接MF,NF，

由“命题8”证明过程得∠PMF=∠PNF=90°，故∠PMF+∠PNF=180°⇒P,M,F,N四点共圆⇒∠1=∠2，又易证∠2=∠3⇒∠1=∠3

结合∠PFB=∠PFA得△FPB∽△FAP

推广：如图，过抛物线外一点一点P引两条切线，切点为A,B。若M,N为PA,PB上两点且MN与抛物线相切于D，则P,M,F,N四点共圆

证明：如下图，

易得∠APB=∠1+∠3=∠1+∠2（命题11相似推角相等），由“命题11”∠DFM=∠AFM=α，∠DFP=∠BFP=β，∠PFA=∠PFB即2α+∠DFP=2β-∠DFP⇒β=∠DFP+α=∠MFP即∠DFN=∠MFP⇒∠PFN=∠DFN=∠AFM，故∠MFN=∠MFP+∠PFN=∠MFP+∠AFM=∠PFA

同时∠PFA+∠1+∠2=180°，即∠MFN+∠APB=180°，故P,M,F,N四点共圆

定义：圆锥曲线的弦(AB)与过弦的端点的两条切线(PA,PB)所围成的三角形(△PAB)叫做阿基米德三角形。

定理12：如图，抛物线的阿基米德三角形△PAB边AB上的中线PI∥抛物线的轴

证明：过A,B分别作准线的垂线段AM,BM同时连接PM,PN

易证PM=PN(证明见10尺规作图)

然后你就卡住了，因为很难直接证明出H为MN中点，或者说PH平分∠MPN

我们不妨反过来思考，先作PI∥轴（如图，分别交MN，AB于H,I）那么可以轻而易举地得到H为MN中点，从而有BI/AI=HN/HM=1（平行线分线段成比例）即PI为中线

由欧氏几何的平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

刚刚证明出了过P点平行于轴的PI为△PAB中线，那么中线PI必然也平行于抛物线的轴。证毕

之后还会有椭圆，双曲线的几何性质研究

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