渐开线齿廓形状是应用最为广泛的齿廓形状，那么对于描述它的渐开线方程，你真的理解了吗？今天咱们就一起来认真学习一下：

先放一张图，这张图看懂了，渐开线也就理解了。后面的很多推导都在这张图里：

图1 渐开线方程推导

图中：

青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O 点为坐标原点；

绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN 为渐开线发生线，基圆半径为rb；

蓝色曲线 AKB――渐开线，A 为始端，B 为终端，K 为渐开线上任一动点；

蓝色直线OK――连接基圆圆心O与动点 K的矢径，向量OK；

蓝色直线 KV――动点 K的速度矢量KV，垂直于矢径OK；

绿色直线KN――动点K 的法线，根据渐开线的性质4，设法线与基圆相切于N，连接NO；

法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向KF；

紫色直线NQ――切点N 向X 轴作垂线，垂足为Q；

紫色直线KP――动点K 向直线NQ 作垂线，垂足为P；

几个名词的定义：

∠KOA称为展角，记为θk；

∠NOA称为滚动角，记为φ k ；

速度矢KV 与力矢KF 的夹角称为压力角，记为αk，即图 1中∠VKN ；

应为有这些关系：

∠VKN +∠OKN =90°

∠NOK +OKN=90°

所以：

∠NOK =∠VKN=αk

即：滚动角＝展角+压力角；

在极坐标系中，渐开线方程可写为：

即：

在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意

∠KNP=90°-∠ONQ=φk）：

由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：

即，

展角＝ 压力角的正切－压力角；

滚动角＝ 压力角的正切；

滚动角＝ 压力角+展角；

压力角的正切＝ 压力角+展角；

注1：本文角度单位为弧度制；

注2：图1 中的角a，b，c 分别对应正文中的αk，θk，φk即压力角，展角，滚动角。

至此，渐开线方程就推导完毕了，大家理解了没？下面几张动图帮助大家加深印象：

下面这张图告诉我们，渐开线的等距线仍然是渐开线，只不过是转过一个角度而已：

这张图形象地说明了什么基节相等的巨大作用：

最后一张，重温渐开线齿轮的范成过程：

我是woodykissme，定期分享有关，机械传动及齿轮加工方面的内容，对这方面感兴趣的小伙伴，可以关注我。希望能够与大家讨论一下：

齿轮的设计及加工方法，加工齿轮所用的刀具设计、制造及使用方面的相关问题。

今天就分享到这，感谢您抽出宝贵的时间阅读！

往期精彩内容：

《各类蜗杆学习——渐开线蜗杆》

《齿轮磨削方法学习笔记分享》

《摆线轮的方程和绘图总结》

《齿轮检测报告怎么看？这有详细的讲解！》