教师介入：本节课，我们重点学习圆的概念及相关概念。

教学说明：将圆的概念的学习置于圆的知识整体结构体系中，体现结构化特征的课程内容。

3.2 类比学习，概念生成

问题3：类比三角形、四边形概念学习的一般路径，请展望一下圆的概念学习的一般路径？

师生活动：学生经历独学、互助后，在教师引导下得出圆的概念学习的一般路径：定义—表示—分类。

设计意图：帮助学生梳理概念学习的思路，明确圆的概念的学习一般路径。

问题4：在小学我们已经初步认识了圆，请你先画出一个圆，然后思考一下“画出一个圆”需要什么条件？

师生活动：学生在画圆中，结合小学学习圆的经验，容易得出：画出一个确定的圆需要定圆心（定位置）、定半径（定大小）。

问题5：我们已经知道了画一个确定的圆，需要定圆心、定半径。请结合画出的圆，观察圆上任意一点到圆心距离相等吗？圆、圆心、半径又如何定义？

师生活动：学生观察画出的圆，经互助、交流、展示、补充，得到“到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，这个定点叫作圆心，这条定长叫作圆的半径。”

追问：圆、圆心、半径应该如何表示呢？

师生活动：学生自学教材，客易得出相关结论：如图1，它是以点O为圆心，OA为半径的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”，线段OA称为⊙O的半径。

教学说明：复习小学学习圆的概念知识，通过画图、思考，从点的集合的角度进一步认识圆、半径的概念。

问题6：在学习四边形概念时，除了学习四边形的概念外，还学习了四边形的边、角、对角线等相关联的概念；类比四边形的学习经验，你能否找到有关圆的边、对角线、角？

师生活动：教师抛出问题，引导学生思考，引出圆的相关概念的学习。

教学说明：通过类比四边形概念学习的经验，明确圆的概念学习的主要问题，使学生学习具有方向感。

问题7：四边形的边是周长的一部分，是四边形两顶点之间线段（直的）；类比四边形学习经验，圆的“边”也应该是周长的一部分，请思考什么是圆的“边”呢？

师生活动：让学生类比四边形的边是“四边形周长上两个相邻顶点之间的线段，是直的”，可得出圆的“边”应该是圆周长的一部分，是曲的；由于圆周上没有明确的“顶点”，所以圆的“边”应是圆上任意两点的部分，称为圆弧。

追问1：类比三角形概念的学习经历，请你展望一下圆的概念学习的一般套路是什么？

追问2：我们已经学习了圆的边——圆弧的定义，接下来我们将要学习弧的什么知识？

师生活动：学生独思、互助交流后，类比三角形概念的学习，得出将要学习弧的分类、表示。

追问3：请你在圆中，找出不同的弧，你认为弧可以分为哪几类？弧怎样表示？并举例说明。

师生活动：学生独思、展示、补充后，在教师引导下得出：弧可以分为三类，即半圆、劣弧、优弧。圆的直径将这个圆分成能够重合的两条弧，这样的一条弧叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。如图2，直径AC所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC，以AB为端点的弧有两条，其中优弧用表示，读作“弧ADB”，劣弧用表示，读作“弧AB”。

教学说明：类比四边形的边，生长出圆的“边”——弧，使四边形的边的概念和圆的弧的概念关联在一起，增强概念的结构性。

问题8：四边形的对角线是不相邻的两个顶点联结构成的线段，类比四边形的对角线，你能找出圆的“对角线”吗？

师生活动：学生独立思考后，在教师的点拨下得出：因为圆没有顶点，所以圆的“对角线”是圆上的任意两点间的线段，称作这个圆上的一条弦，弦的表示和线段的表示一样。

追问：请在圆中画出不同的弦，你认为弦可以分成几类？怎样表示？并举例说明。

师生活动：学生经历画图、思考、互助后，容易发现弦共有两类，一类是过圆心的弦，即直径（最长的弦），另一类是不过圆心的弦。如图2，在⊙O中，线段AB为⊙O的一条弦，线段AC为⊙O的一条直径。

教学说明：类比四边形的对角线，生长出圆的“对角线”——弦，使四边形的对角线的概念和圆的弦的概念关联在一起。

问题9：角是由具有公共端点的两条射线组成的，在四边形中的角是由共顶点（顶点在周长上）的两边组成的；类比四边形的角，找一找圆中的角在哪里？怎样表示？并举例说明。

师生活动：学生思考后，教师引导得出“顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角”。

教师介入：圆内还有一类特殊角叫圆心角，即顶点在圆心的角叫作圆心角，圆的每一个圆心角和圆周角都对应一条弦和一条弧。这两类角表示方法和一般角一样。如图3，∠DAC是圆周角，∠COB是圆心角。

教学说明：类比四边形的角，生长出圆的“角”——圆周角和圆心角，使四边形角的概念和圆的角的概念关联在一起。

问题10：在学习三角形相关知识后，我们研究了两个三角形特殊关系（全等、相似）；类比三角形学习的套路，我们可以研究圆的什么知识？

师生活动：教师引导学生得出，研究两圆特殊关系——两圆“全等”和两弧“全等”。

追问1：“相等（或全等）”是几何图形研究的重要关系，两圆“全等”和两弧“全等”应该怎么描述？

师生活动：学生经历独学教材后，得出结论：两圆“全等”是等圆，即能够完全重合的两个圆叫等圆；两弧“全等”是等弧，即能够完全重合的两条孤叫作等弧。

追问2：两个圆是等圆，本质上是两圆的什么相等？两弧是等弧呢？

师生活动：学生思考、互助后，展示补充，得出结论：等圆本质上是两圆半径相等；等弧本质上是两弧所在的圆的半径相等、所对的圆心角相等。

教学说明：类比三角形的学习路径，引出圆将要学习的内容，使圆的相关概念（等圆和等弧）与三角形的全等概念发生关联。

3.3 尝试练习，夯实概念

问题11：请尝试完成下列练习。

1.（1）如图4，按标注的字母，说出图中的圆心、弦、半径、直径和半圆，并把表示它们的符号写出来。

（2）找出图中所有的优弧和劣弧，并用字母表示。

2.如图5，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，以点〇为圆心，OA为半径画圆，点B，C，D在不在这个圆上？为什么？

3.如图6，点A，N在半圆O上，四边形ABOC，DNMO均为矩形，BC＝a，MD＝b，求a与b的大小关系？

4.请从下面圆中找出圆周角，圆心角，如图7和图8。

设计意图：让学生在练习中，加深对概念的理解，及时巩固圆的概念知识。

问题12：通过以上尝试练习的过程，请你思考四边形的边、角、对角线概念和圆的“边、角、对角线概念的联系？

师生活动：学生充分思考后，交流、互助、展示、补充，得出如下结论：圆的“弧、圆周角、圆心角、弦”的概念可以看作由四边形的边、角、对角线的概念生长而来，它们本质上具有“一致性”。

设计意图：通过此问题，引导学生反思，使直线形四边形的概念与曲线形圆的概念关联在一起，形成逻辑连贯的平面几何图形概念知识结构体系。

3.4 小结提升，梳理结构

问题13：今天我们研究了有关圆的哪些概念？我们是如何研究的？运用了哪些思想方法？请疏理知识结构体系。

师生活动：学生动笔思考、互助交流后，展示分享，教师补充，得到知识结构图，如下图9所示：

教学说明：让学生梳理圆的概念知识结构，认清圆的概念和四边形、三角形概念学习的本质联系，形成一脉形成的概念结构体系。

4 教学反思

“在课堂教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考”[1]。类比是学生思考、学习新知识的起点，通过类比学习，使旧知识与已有学习方法得到有效迁移，实现知识、方法、研究套路的自然生长。

4.1 类比学习路径，引领方向

三角形概念的学习一般路径是定义、表示、分类；同时这也是其他数学概念学习的应该关注的三项学习任务。教师可以类比三角形概念的学习一般套路，展望圆的概念学习的路径，使学生思考、学习具有方向感。在本教学中，学习弧的定义后，自然引导学生学习弧的分类及弧的表示；学习弦的定义后，接着将弦分成了过圆心的弦和不过圆心的弦两类，以及它的线段表示的方法。如此使概念学习任务前后一致地形成体系，使概念知识任务的学习自然生长、形成。

4.2 类比概念生成，关联成体

圆的概念及相关概念较多，具体包括“圆、圆心、半径、弦、直径、弧（优弧、半圆、劣弧）、圆周角、圆心角”等概念。为了帮助学生构建逻辑连贯的知识结构，本教学类比四边形概念学习经验，分别从边、角、对角线三个角度，发现了圆的“边”——弧、圆的“对角线”——弦、圆的“角”——圆周角和圆心角，使四边形的边、角、对角线的概念自然迁移、生长到圆的相关概念学习中；如此使学生获得前后一致、逻辑连贯的学习体验，使学生体验到“边就是其两顶点之间的周长的一部分”“对角线就是其不相邻两顶点之间的线段”等的普适性思想方法，并有效迁到弧、弦等圆的概念的学习过程中。如此使平面几何概念的学习具有一般化、具有关联性，形成结构化的概念体系。

4.3 类比练习方式，巩固概念

为了加深学生对概念的理解，教师应该设计相应的练习，概念练习的三部曲，一般情况下包括问题串、举例说明、尝试练习。教师可以类比概念练习的一般三种方式，在教学实践时，有意识地组织学生在问题串、举例说明、尝试练习等不同的练习方式下，让学生生成概念、回归概念、巩固提高。本教学中，让学生通过问题串去思考概念的生成、发展过程；在互助举例中及时认识圆的概念；在尝试练习中回归概念，透过表层认识其本质，初步运用概念解决问题，如此加深对圆的概念的认识，梳理圆的相关概念的联系与区别；最后又在问题引领中，引导学生发现四边形的边、角、对角线的概念与圆的弧、圆周角、圆心角、弦的概念在本质上的一致性，使学生形成直线形图形和曲线形图形前后一致的概念认知结构，加深圆的概念的理解。

（本文系邯郸市教育科学研究“十四”规划2023年立项课题“初中数学课堂师徒互助教学实践研究”阶段性成果，课题编号23ZD016）

作者：

门社强，王植英（邯郸市永年区洺州中学）

李晓 （邯郸市永年区第五实验学校）

参考文献：

[1]章建跃. 章建跃数学教育随想录（上卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

作者简介

门社强，华师教育研究院学科特聘专家，高级教师，邯郸市永年区洺州中学副校长，邯郸市初中数学名师工作室主持人。曾荣获河北省师德标兵、市级骨干教师、市级科研型教师等荣誉称号。围绕“师徒互助高效课堂”这一主题，开展课题研究，十年先后主持并完成10项县级课题，主持并完成了3项省级课题。2017年出版专著《师徒合作尝试下的数学课堂实战技巧》。

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