相信“勾股定理”是众所周知的，但要问如何证明，可能要懵倒一片。要说对勾股定理最熟悉的人群，那一定是即将参加高考的高中生。那又有多少学生能给出正确答案呢？著名的解析数论专家潘承彪先生，曾在1979年高考数学卷上出题：请叙述并证明勾股定理。让人意外的是，题目的正答率不足1%。

到目前为止，勾股定理的证明方法已超过400种，证明方法包括了几何证法、代数证法、动态证法、四元数证法等方法。伴随着数学知识和工具的发展、丰富，肯定还会有更新的证明方法。然而一遍遍的关注勾股定理有意义吗？不妨看一下，数学发展史上，勾股定理带来的价值！

勾股定理本身也简单：直角三角形的斜边长的平方等于两直角边长的平方和。

毕达哥拉斯学派信徒认为所有的数都可以写成两个整数的比，也就是说所有的数是有理数。直到一个名叫依波索的信徒提出质疑：根据毕达哥拉斯定理(勾股定理)，取两个直角边为1的直角三角形，斜边的平方就应该等于2，而斜边的边长似乎是无法写成两个整数之比？在众信徒尝试寻找该“有理数”边长失败后，便萌生了灭口的想法，可怜的依波索就这样被丢到了地中海！

阿基米德通过把圆放到内接多边形与外切多边形之间，反复使用毕达哥拉斯定理，寻求更多边的多边形周长，用于近似圆周长来计算圆周率。

从毕达哥拉斯学派时期，就关注满足毕达哥拉斯定理的整数，并被称为毕达哥拉斯三元组。然而直到几百年前，业余数学家费马关注到指数大于等于3时，方程无整数解，这就是大名鼎鼎的“费马大定理”。希尔伯特说过费马大定理是个“金蛋”，那勾股定理又何尝不是呢？从勾股定理出发，还有很多大量的新发现、新应用！

《数学汇编》中帕普斯定理：设ABC是任意三角形，并设ABDE和ACFG分别是构建在边AB和AC上的两个平行四边形(如图)。延长DE和FG直到它们相交于H。分别做平行于HA且等于HA的BM=CN。那么平行四边形BMNC的面积等于平行四边形ABDE和ACFG的面积之和。

而角A是直角，取平行四边形ABDE和ACFG为正方形，则得到勾股定理。

伊本·奎拉定理：设ABC是任意三角形，从A画直线AM、AN使得∠AMB=∠ANC=∠A(如图)。因此△ABC、△MBA与△NAC相似，从而容易得到

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。而矩形就一定是内接于圆的，此时使用托勒密定理，即可得到勾股定理。

余弦定理：在三角形ABC中，角A、B、C对应边长a、b、c，则

一位名不见经传的数学家卢米斯，1927年出版著作《毕达哥拉斯命题》，书中收录了毕达哥拉斯定理的371中证明方法。其中有不少的方法来自一些历史名人，比如：

勾股定理自从被发现以来，就广泛的应用于工程、建筑、测量等方面，比如印度人用于设计宗教祭祀的祭祀台设计；阿基米德时代注重于实际问题的解决，测量等等。另外，在数学各领域分支，也得到了广泛的应用，并与新的数学知识融合，或者产生新的数学对象。这其中最著名的就是当年的“孤立”命题“费马大定理”，在解决该命题300多年间，催生了大量新的数学思想、方法和工具。正如孔子所说，温故而知新！那么历史上，勾股定理催生了新的数学对象，未来为什么就不能呢？