连通且不含圈的无向图称为树（tree）。树中度为1的节点称为树叶，度大于1的节点称为分支点。 若图G=(V,E)的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树（spanning tree），也称支撑树，简称为图G的树。图G中属于生成树的边称为树枝（branch）。 连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L（e）。一棵树上所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树（minimum spanning tree），也称最小支撑树，简称最小树。 许多网络问题都可以归结为最小树问题，例如：交通系统，通信系统，局域网系统等等。 最小生成树的算法：

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。 给定连通赋权图G=(V,E,W)，其中W为邻接矩阵，构造它的最小生成树。设置两个集合P和Q，其中P用于存放G的最小生成树的节点，集合Q存放G的最小生成树的边。令集合P的初值为P={V1}（假设构造最小生成树时从节点V1出发），集合Q的初值Q=空集。Prim算法的思想是，从所有p属于P，v属于V-P的边中，选取具有最小权值得边pv，将节点v加入集合P中，将边pv加入集合Q中，如此不断的重复，直到P=V时，最小生成树构造完毕，这时集合Q包含了最小生成树的所有边。

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E； 2).初始化：P = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Q = {},为空； 3).重复下列操作，直到P = V： a.在集合E中选取权值最小的边

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

1、在当前未选边中权值最小； 2、与已选边不构成回路。直到选取n-1条表是算法结束。找到MST活判断不存在MST。

1).记Graph中有v个顶点，e个边 2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边 3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序 4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中 if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中 添加这条边到图Graphnew中

3.简单证明Kruskal算法 对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。 归纳基础： n=1，显然能够找到最小生成树。 归纳过程： 假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。 我们证明T’+{