大家都会的东西。下面的图一般指二分图。

匹配：在图论中，一组匹配（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共端点。

对于一组匹配 \(S\)（\(S\) 是一个边集），属于 \(S\) 的边被称为“匹配边”，匹配边的端点被称为“匹配点”。剩余的边或点被称为“非匹配边”和“非匹配点”。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配。

完美匹配：如果一个图的某组匹配中，图中所有的顶点都是匹配点（显然同时也符合最大匹配），那么它就是一个完美匹配。

完美匹配，就是一组匹配中，左部的一个点恰好匹配到右部一个点，同样地，右部的一个点恰好匹配到左部一个点。

霍尔定理是判断二分图是否存在完美匹配的充要条件。

首先假设 \(|X|\leq |Y|\)（其中 \(X\) 是左部的点数，\(Y\) 是右部的点数）。

上面的这种说法，意思是，我们能把 \(X\) 中的点全部用完（作为匹配点），\(Y\) 中的点不一定用完（将点数较小的一侧的点都用完）。

另一种说法是：要求 \(|X|=|Y|\)（点之间一一匹配，所有点都用完）。

我们可以理解为是两种定义，两种说法哪个对，取决于怎么定义“完美匹配”。但是霍尔定理对它们都适用，所以讨论霍尔定理时，我们采用更一般性的定义。

对于任意 \(X\) 的子集 \(a\)，设 \(b\) 是 \(a\) 能到达的右部点集的并（显然通过 \(a\) 可以唯一确定 \(b\)），都有 \(|a|\leq |b|\)。

必要性是显然的。因为若某一个 \(|a|>|b|\)，\(a\) 中必然有某些点是匹配不了的（即完成不了把 \(a\) 中的点用完这个要求）。充分性不太好证，可以不用管，而且这个定理看起来就很对 QwQ。

举个栗子：LOJ 6062. 「2017 山东一轮集训 Day2」Pair（题解被吃了）。

最后，感谢 Dls 的指导，Dlstxdy！

补：霍尔定理的推论是，设 \(mx\) 为 \(a\) 与其对应 \(b\) 中 \(|a|-|b|\) 的最大值，二分图的最大匹配为 \(|X|-mx\)（ARC076F）。