指数函数:特征、图形表示、练习…… |
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在此页面上,您将了解什么是指数函数以及如何在图形上表示指数函数。此外,您将看到它的所有特性和几个示例以充分理解它。最后,您将能够通过指数函数的练习和逐步解决的问题进行练习。 什么是指数函数?指数函数的定义如下: 在数学中,指数函数是自变量x为幂指数的函数。换句话说,它们如下: 金子 是一个不同于 1 的正实数。 指数函数的示例以下函数是指数函数的示例: 指数函数的特征指数函数具有以下性质: 指数函数的定义域由实数组成,换句话说,对于任何x值都存在指数函数。 然而,该函数只取正值,因此指数函数的范围由正实数组成。 每个指数函数既是连续函数又是单射函数。 如果函数不平移,则任何指数函数都会经过点 (0,1)。因为计算为零的函数总是给出一。 类似地,指数函数在 x=1 处的值等于底数。 如果电源底座大于1,指数函数递增。另一方面,如果系数 在 0 和 1 之间,指数函数是递减的。 一般来说,x 轴是指数函数的水平渐近线。 指数函数的反函数是对数函数。因此,如果指数函数和对数函数具有相同的底,则它们的图形关于直线 y=x 对称。 如何绘制指数函数的图形指数函数的表示非常简单。因此,让我们通过示例了解如何在图表上绘制指数函数。 在图上绘制以下指数函数:在指数函数中,不需要计算定义域,因为它们始终都是实数: 因此,制定价值表就足够了。由于这些类型的函数从一个点到另一个点变化很大,我们将计算 5 个点。但是我们计算的点越多,函数的表示就越精确。 我们建议使用计算器来查找数值表中的点,因为手动计算这些点很复杂。 现在我们在图表上表示点: 最后,我们连接点并扩展函数: 请注意,右侧的函数继续增长直至无穷大。 相反,左边的函数减少但永远不会达到 0。即使它非常接近它,它也永远不会触及它。这意味着线 y=0(x 轴)是水平渐近线。 解答了指数函数的练习 练习1绘制以下指数函数的图形: 查看解决方案它是一个指数函数,因此要表示它,您必须创建一个值表,为变量 x 赋予值: 一旦我们有了数值表,我们就可以在图表上绘制获得的点并绘制函数: 请注意,右侧的函数继续增长直至无穷大。另一方面,在左侧,函数减小但从未超过 1。实际上,函数在右侧 y=1 处有一条水平渐近线。 在这种情况下,水平渐近线位于 y=1 而不是 OX 轴,因为已经朝着函数向上垂直平移了一个单位。 练习2在图上绘制以下指数函数: 查看解决方案它是一个指数函数,因此要以图形方式表示它,您必须构造一个值表,为变量 x 赋予值: 一旦我们有了数值表,我们就可以在图表上绘制计算点并绘制函数: 请注意,左侧的函数继续增长直至无穷大。另一方面,在右侧,函数减小但从未超过 0。实际上,函数在 y=0(X 轴)处有一条水平渐近线。 练习3在图上绘制以下指数函数: 查看解决方案它是一个指数函数,因此要绘制它,您必须创建一个值表,在几个点上评估该函数: 最后,我们将获得的点表示在图上并绘制函数: 请注意,左边的函数无限增长到无穷大。另一方面,在右侧,函数减小但从未超过 3。实际上,函数在 y=3 处有水平渐近线。 在本例中,水平渐近线位于 y=3 而不是 X 轴,因为函数已垂直向上移动了三个单位。 练习4解决以下有关指数函数的问题。 确定 的值使得下一个指数函数通过点(2.8)。 查看解决方案函数必须经过点(2,8),因此我们可以将该点的x和f(x)的值代入函数中求得常数k的值: 现在我们求解所得方程: 练习5解决以下有关指数函数的问题。 白蚁种群根据以下功能进行繁殖: 金子 是白蚁的数量, 时间已经过去几个月了。 1年后会有多少白蚁? 查看解决方案要计算一年内白蚁的数量,只需将经过的时间(1 年)代入函数即可。但由于函数t是经过的月份而不是年份,因此我们必须将t =12,因为一年有 12 个月: 我们用计算器求解: 所以一年后将会有 1,594,323 只白蚁。 |
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