数字图像的压缩是指在不同用途的图像质量要求下，用最少的比特数表示一幅图像的技术。

数字图像的压缩是 实现图像存储和传输的基础。目的是 节省图像存储容量、减少传输信道容量、缩短图像加工处理时间。

设信息源 \(X\) 可发出的消息符号集合为 \(A = \{a_i | i = 1, 2, ... , m\}\)

设符号 \(a_i\) 的概率为 \(p(a_i)\)，则定义符号出现的自信息量为：

特别地，上式中的 对数取2为底，这时定义的信息量单位为 “比特”(bit) 。

对信息源 \(X\) 的各符号的自信息量 取统计平均，可得平均自信息量为:

\(H(X)\) 称为信息源 \(X\) 的 熵 (entropy)，用以 衡量信息的不确定性。

可以理解为信息源发出的一个符号所携带的平均信息量，单位为比特/符号。

在无失真信源编码中，信息熵给出了 无失真编码时每个符号所需平均码长的下限。

相关代码：

例如运行结果为 h = 7.3333。

说明对该图像进行无失真编码，其平均码长一定不会小于7.3333。

通常 一副图像中的各像素点之间存在一定的相关性。特别是 在活动图像 中，由于两幅相邻图像之间的时间间隔很短，因此这 两幅图像信息中包含了大量的相关信息。这些就是图像信息中的 冗余。

空间冗余

图像数据中最基本的冗余。要去除这种冗余，人们通常将其视为一个整体，并用极少的数据量来表示，从而减少邻近像素之间的空间相关性，以达到数据压缩的目的 。

时间冗余

活动图像和语音数据 中经常存在的一种冗余。由于活动图像序列中的任意两相邻的图像之间的时间间隔很短，因此 两幅图像中存在大量的相关信息。

信息熵冗余

针对数据的信息量而言。设某种编码的平均码长为：

其中 \(l(s_i)\) 为分配给第 \(s_i\) 符号的比特数，及对应的信息量。 \(p(s_i)\) 为符号 \(s_i\) 出现的概率。

此压缩的目的是要使 \(L\) 接近 \(H(X)\) ，但实际上 \(L ≥ H(X)\) ，即描述某一信息的比特数 大于 理论上表示该信息所需要的最小比特数。

视觉冗余

由于人眼的视觉特性所限，人眼不能完全感觉到图像画面的所有细小的变化。

图像压缩 后，虽然 丢了一些信息，但从人眼的 视觉上 并 未感受到其中的变化，而仍认为图像具有良好的质量。

结构冗余

存在着非常强的纹理结构，使图像在结构上产生了冗余。

知识冗余

随着人们认识的深入，某些图像所具有的先验知识，如人脸图像的固有结构（包括眼、耳、鼻、口等）为人们所熟悉。这些由先验知识得到的规律结构就是知识冗余。

从 信息论 的角度区划分：

无失真压缩编码

利用图像信源概率分布的不均匀性，通过 变长编码来减少信源数据冗余，使编码后的图像数据接近其信息熵而不产生失真，因而也通常被称为 熵编码。

\(\text{Huffman}\) 编码

算术编码

游程编码

有限失真编码

根据人眼视觉特性，在 允许图像产生一定失真 的情况下，利用图像信源在空间和时间上具有较大的相关性这一特点，通过某一种 信号变换来消除信源的相关性、减少信号方差，达到压缩编码的目的。

预测编码

变换编码

矢量量化编码

为了表明某种压缩编码的效率，引入 压缩比 这一概念：

其中 \(b_1\) 表示 压缩前 图像的 每个像素 的 平均比特数，\(b_2\) 表示 压缩后 图像的 每个像素 的 平均比特数。

一般情况下，压缩比 \(c\) 总是大于 \(1\) 的，\(c\) 越大则也压缩程度越高。

如图所示，为压缩前的 png 文件，和压缩后的 jpg 文件。

相关代码：

设 \(l(c_k)\) 为数字图像第 \(k\) 个码字 \(C_k\) 的长度（编码成二进制码的位数），其相应出现的概率为 \(p(c_k)\) ，则该数字图像所赋予的平均码字长度（单位为\(\text{bit}\)）为:

在一般情况下，编码效率往往可用下列简单公式表示:

其中，\(H\) 是原始图像的熵，\(L\) 是实际编码图像的平均码字长度。

\(R\) 越小，说明可压缩的余地越小。

客观保真度准则

当损失的信息量 可表示成输入图像，或者 先被压缩而后又被解压缩获得的输出图像 时，称该函数是基于 客观保真度准则 的。

假设 \(f(x, y)\) 表示原图像，\(\hat f(x, y)\) 表示先被压缩后又被解压缩的输出图像。

对于任意 \(x, y\) ，\(f(x, y)\) 和 \(\hat f(x, y)\) 之间的误差定义如下：

两幅图像的总误差定义如下：

\(f(x, y)\) 和 \(\hat f(x, y)\) 之间的均方根误差：

\(f(x, y)\) 和 \(\hat f(x, y)\) 之间的均方根信噪比：

主观保真度准则

通过一组观察者提供的原图像和解压缩图像的质量评价，并综合他们的评价结果进行平均，得出 统计平均意义 下的结果。

基本步骤：

把输入的信号源按照概率值大小排序从上到下排列。

取出 两个最小概率 的，进行概率相加，并重新加入到序列中。

重复步骤2，直到最后剩下两个概率为止。

从形成的二叉树的根节点开始，逐步向前编码。一般情况下，概率较大的一个分支为 0，概率较小的一个分支为 1。

一直搜索到叶子节点，构成该信号源符号的编码。

典型示例：

计算编码效率：

信息熵：\(H = -\sum_{k=1}^Mp_k \text{log}(p_k)\)

平均码长：\(L = \sum_{k=1}^Mp_k \; l_k\)

编码效率：\(\eta = \frac{H}{L}\)

特点：

哈夫曼编码所构造的码并 不是唯一 的，但其 编码效率是唯一的。

对不同信源，其编码效率是不同的。

实现电路复杂，且存在误码传播问题。

哈夫曼编码只能用 近似的整数 而不是理想的小数来 表示单个符号。

当图像不太复杂时，往往存在着灰度或颜色相同的图像子块。

由于图像编码是按照顺序对每个像素进行编码的，因而会存在多行的数据具有相同数值的情况，这样可只保留两连续相同像素值和像素点数目。这种方法就是 游程编码。

以一个具体的二值序列为例。已知一个二值序列00101110001001，根据游程编码的规则，可知其游程序列为21133121。可见图像中具有相同灰度（或颜色）的图像块越大、越多，压缩的效果就越好，反之当图像越复杂，即其中的颜色层次越多时，则其压缩效果越不好，因此对于复杂的图像，通常采用游程编码与哈夫曼编码的混合编码方式，即首先进行二值序列的游程编码，然后根据“0”游程与“1”游程长度的分布概率，再进行哈夫曼编码。

算术编码 不是将单个信源符号映射成一个码字，而是把 整个信源表示为实数线上的0到1之间的一个区间，其 长度等于该序列的概率。

采用算术编码，每个符号的平均编码长度可以为小数。

基本步骤如下：

初始化数据，为每个可能输入的符号分配一个概率。设置初始 编码区间 为 \([0.0, 1.0)\)，左区间记为 \(low\)，右区间记为 \(high\)，当前的编码区间的长度记为 \(range = high - low\)

对于每个输入的编码，找到当前符号对应的 初始概率区间 \([low_p, high_p)\)，进行 编码区间 的更新：

即

更新后的 \(low\) 等于 上一次的 \(low\) 加上 上一次的编码区间长度 \(range\) 乘 当前符号对应的初始概率区间 的 \(low_p\)

更新后的 \(high\) 等于 上一次的 \(low\) 加上 上一次的编码区间长度 \(range\) 乘 当前符号对应的初始概率区间 的 \(high_p\)

对于输入序列的符号，重复步骤2，不断减小编码区间

当所有输入符号已经被编码，选择编码区间内的任何一个数作为整个输入序列的编码。为了解码方便，通常选择区间的中点。

典型示例：

已知四个符号 \(X1、X2、X3、X4\)，它们出现的概率分别为 \(1/5、1/5、2/5、1/5\)，假设输入的消息序列为：\(X1、X3、X4、X3\)，求其算术编码的小数形式。

由题意可以将符号初始概率区间划分为：

\(X1: [0, 0.2)\) \(X2: [0.2, 0.4)\) \(X3: [0.4, 0.8)\) \(X4: [0.8, 1)\)

初始情况编码区间 \(low = 0，high = 1, range = 1\)。

第一个输入的符号 \(X1\)，其对应的初始概率区间是 \([low_p, high_p) = [0, 0.2)\):

更新得到当前的编码区间为 \([low, high) = [0, 0.2), range = 0.2\)

第二个输入的符号 \(X3\)，其对应的初始概率区间是 \([low_p, high_p) = [0.4, 0.8)\):

更新得到当前的编码区间为 \([low, high) = [0.08, 0.16), range = 0.08\)

第三个输入的符号 \(X4\)，其对应的初始概率区间为 \([low_p, high_p) = [0.8, 1)\):

更新得到当前的编码区间为 \([low, high) = [0.144, 0.16), range = 0.016\)

第四个输入的符号 \(X3\)，其对应的初始概率区间为 \([low_p, high_p) = [0.4, 0.8)\):

更新得到最后的编码区间为 \([0.1504, 0.1568)\)

故可以选取这个区间内的任意值作为最终的算术编码，可取 \(0.1536\)

算术编码的特点：

由于实际的计算机 精度 不可能无限长，运算中 会出现溢出问题。

算术编码器对整个消息只产生一个码字，这个码字是在 \([0，1)\) 之间的一个实数，因此译码器必须在接收到这个实数后才能译码。

算术编码也是一种对错误很敏感的方法。

无失真图像压缩编码 的 平均码长存在一个下限，就是信息熵。

无失真编码的压缩比不可能很高，而在 有限失真图像编码方法中，则 允许有一定的失真存在，因而可以 大大提高压缩比。

需要关注的是，在失真不超过某种极限的情况下，所允许的编码比特率的下限是多少。

率失真函数 是指在信息源一定的情况下使信号的失真 小于或等于 某一值 \(D\) 所必需的最小的信道容量，率失真函数 常用 \(R(D)\) 表示。\(D\) 代表所允许的失真，对连续信息源的编码与传输，可以用 失真度量函数 \(d(x,y)\) 和 失真函数 \(D(x,y)\) 表示，即:

失真度量一般有如下几种：

均方误差

绝对误差

频域率加权误差

超视觉阈值均方误差

率失真函数的一些性质：

当 \(D < 0\) 时，不存在 \(R(D)\)。

当 \(D ≥ D_{max}\) 时， \(R(D) = 0\), 表示此时所传输的数据信息毫无意义。

当 \(0 < D < D_{max}\) 时， \(R(D)\) 是一个下凸型连续函数。

连续信源，当 \(D\) 趋于 \(0\)时， \(R(D)\) 趋于无穷大。

离散信源， \(R(D) = H(X)\)。

在图像压缩中，预测编码 建立在去除图像空间冗余和时间冗余的基础上，利用邻近像素间或相邻帧之间图像的高度相关性，在编码时，只对新的信息（预测误差信息）进行编码，从而提高压缩率。

预测编码器由 预测器、量化器 和 编码器 构成。

预测器（帧内和帧间预测）的目的是由过去的信息预测当前的信息。

量化器（有损和无损预测编码）是用来表示如何看待误差的问题的。

编码器 的目的在于对量化后的误差进行压缩，减少数据量。

预测器可分为 线性预测器 和 非线性预测器。

在图像编码中，为了提高预测效率，一般采用线性预测器。目前用得较多的是差值脉冲编码调制（DPCM）。

基本原理和步骤如下：

变换编码基于图像变换技术，首先将一幅 \(N×N\) 大小的图像 分割 成 \((N/n)^2\) 个子图像。

然后对子图像进行 变换 操作，解除子图像像素间的相关性，达到 用少量的变换系数 包含 尽可能多的图像信息 的目的。

接下来的 量化 步骤是有选择地 消除或粗量化 带有 很少信息的变换系数 ，因为它们对重建图像的质量影响很小。

最后是 编码，一般用变长码对量化后系数进行编码。

基于 \(\text{DCT}\) 的图像压缩编码：

DCT具有把高度相关数据能量集中的能力，这一点和傅里叶变换相似，且DCT得到的变换系数 实数，因此广泛用于图像压缩。

DCT系数集中在 低频区域 ，越是 高频区域系数值越小。

通过设置不同的视觉阈值或量化电平，将 许多能量较小的高频分量量化为0，可以增加变换系数中“0”的个数,同时 保留能量较大的系数分量，从而获得进一步的压缩。

矢量量化编码技术 是一种 有损压缩技术，根据一定的失真测度 在码书中搜索 出与输入矢量失真 最小的码字的索引，传输时 仅传输这些码字的索引，接收方根据码字索引在码书中查找对应码字，再现输入矢量。

矢量量化的过程如图所示，可以分为 量化 和 反量化 两部分。

矢量量化中的一个 关键问题 就是 码书的设计。

码书的设计越适合待编码的图像的类型，矢量量化器的性能就越好，因为实际中不可能为每一幅待编码的图像单独设计一个码书，所以通常是以一些代表性的图像构成的训练集为基础，为一类图像设计出一个码书。

子带编码 是一种在频率域中进行数据压缩的算法。

首先在发送端将图像信号在频率域 分成若干子带，然后分别对这些子带信号进行 频带搬移，将其转换成 基带信号，再根据奈奎斯特定理对各基带信号进行 取样、量化和编码，最后 合并成为一个数据流进行传送。

模型基编码 是一种参数编码方法。

它与基于保持信号原始波形的所谓波形编码相比有着本质区别。相对于对像素进行编码而言，对参数的编码所需的比特数要少得多，因此可以节省大量的编码数据。

模型基编码主要依据对图像内容的先验知识的了解。

编码器 对图像内容进行复杂的分析，并借助于一定的模型，用一系列模型的参数对图像内容进行描述，并把这些参数进行编码传输到解码器。

解码器 根据接收到的参数和用同样方法建立的模型可以重建图像的内容。

分形编码 中，使用了 迭代函数（IFS）理论、仿射理论和拼贴定理。

JPEG是用于彩色和灰度静止图像的一种完善的有损/无损压缩方法，对 相邻像素颜色相近的连续色调图像的效果很好，而用于 处理二值图像效果较差。

JPEG2000 主要由6个部分组成，其中，第一部分为 编码的核心部分，具有最小的复杂性，可以满足80%的应用需要，其地位相当于JPEG标准的基本系统，是公开并可免费使用的。

第二至第六部分则定义了压缩技术和文件格式的扩展部分，包括 编码扩展，MotionJPEG2000，一致性测试，参考软件，混合图像文件格式。

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