1、重点 3 回归正交组合试验设计主要内容： 3.1 回归正交试验设计简介 3.2 一次回归正交设计及统计分析 3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 回归正交设计正交性的实现条件及其统计分析。 回归正交设计的根本原理、正交性的实现条件，组合设计的方法，回归方程的建立及显著性检验。难点3.1 回归正交试验设计简介3.1 回归正交试验设计简介 正交设计 是一种重要的科学试验设计方法。它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量之间的相关关系及其相应的回归方程。 回归分析 被动地处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求

2、。 这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。3.1 回归正交试验设计简介 简单地说，就是主动地在因子空间选择适当的试验点，以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决科学研究与生产实际中的最优化问题。 即：主动地将试验的安排、数据的处理和回归方程的精度统一起来加以考虑的一种试验设计方法。这种试验设计方法称为回归设计。 将回归与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法称作为回归正交设计。 3.1.1 回归设计的根本思想3.1 回归正交试验设计简介 回归设计始于20世纪50年代初期，开展

3、至今其内容已相当丰富，主要包括： 1.回归正交设计 2.回归旋转设计 3.回归通用设计 4.回归混料设计等。3.1.2 回归设计的种类3.1 回归正交试验设计简介 当试验研究的依变量如加工罐头质量与各自变量如杀菌方式、产品配料等之间呈线性关系时，那么可采用一次回归正交设计的方法。3.2 一次回归正交设计及统计分析3.2.1 一次回归正交设计的一般方法 一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似，主要是应用2水平正交表进行设计，如L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。 具体设计的一般步骤如下： 3.2 一次回归正交设计及统计分析 回归正交试验设计的因素一般都大于3个，但

4、也不能太多，否那么处理过多，方案难以实施。 根据试验研究的目的和要求确定试验因素数，并在此根底上拟定出每个因素Zj的变化范围。 Z0j(Z2j+Z1j )2 3-1 式中： Z1j 因素取值最低水平，称为下水平 Z2j 取值最高水平，称为上水平 Z0j 两者之算术平均数，称为零水平 上水平和零水平之差称为因素Zj的变化间距，以j表示。 即： jZ2j-Z0j(Z2j-Z1j )2 3-21确定试验因素及其变化范围3.2 一次回归正交设计及统计分析 编码过程 即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为： xij(Zij - Z0j ) j 3-3 例如 某试验的第一个因素，其Z11= 4， Z21

5、= 12， Z01= 8，那么各水平的编码值为： x21(Z21 - Z01 ) /1(12-8)/41 x01(Z01 - Z01 ) /1(8-8) /4 0 x11(Z11 - Z01 ) /1(4-8) /4-12对因素Zj的各水平进行编码经过上述编码，就确定了因素Zj与Xj的一一对应关系，即： 上水平 12Z21 +1x21 即： 零水平 8Z01 0 x01 Zj(Z1j，Z2j ) 下水平 4Z11 -1 x11 xj(x1j，x2j ) 对因素 Zj 的各水平进行编码的目的 为了使供试因素 Zj 各水平在编码空间是“平等的。 即它们的取值都是在1,-1区间内变化，而不受原因素

6、Zj 的单位和取值大小的影响。 对供试因素 Zj 各水平进行了以上的编码后，就把试验结果 y 对供试因素各水平 Zi1,Zi2 , , Zim 的回归问题转化为在编码空间试验结果 y 对编码值 xi1,xi2 , , xim 的回归问题。 由此，我们可以在以 x1，x2 ， ， xm 为坐标轴的编码空间中选择试验点，进行回归设计；这样的设计大幅度地简化了数据处理。3.2 一次回归正交设计及统计分析 无论是一次回归设计，还是二次回归设计，我们都先将各因素进行编码，再去求试验指标 y 对 x1,x2 , , xm 的回归方程，这是试验设计中经常被采用的一种方法。3选择适宜的2水平正交表，进行试验方

7、案设计 在应用2水平正交表进行回归试验方案设计时，以“1代换表中的“2，以“1代换表中的“1，并增加“0水平。 进行这种变换的目的是为了适应对因素水平进行编码的需要。代换后正交表中的“1和“1不仅表示因素水平的不同状态，而且表示因素水平数量变化的大小。 原正交表经过上述代换，其交互作用列可以直接从表中相应几列对应元素相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，这一点较原正交表使用更为方便。 在具体进行设计时，首先将各因素分别安排在所选正交表相应列上，然后将每个因素的各个水平填入相应的编码值中，就得到了一次回归正交设计方案。 例3-1 食品增香试验。影响某产品着香程度的3个主要因素为：香精

8、用量Z1 、着香时间Z2 、着香温度Z3 ，其因素水平及编码值如表3-1示。因素Z1/mLkg-1物料Z2/hZ3/上水平(+1)1722.645.7零水平(0)121635下水平(-1)79.424.3变化间距(i)56.610.7表3-1 食品着香试验因素水平取值及编码表3.2 一次回归正交设计及统计分析 本试验有3个因素。如果除考察主效应外，还需考察交互作用，那么可选用L8(27)进行设计，即将正交表中的“1改为“1，“2改为“1，且把 x1, x2, x3 放在1，2，4列上。 这时只要将各供试因素 Zj 的每个水平填入相应的编码值中，并在“0水平处中心区安排适当的重复试验，即可得到试

9、验处理方案，如表3-2所示。3.2 一次回归正交设计及统计分析表3-2 3元一次回归正交设计试验方案试验号1x1 (Z1)2x2 ( Z2 )4x3 ( Z3 )试验指标 yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (

10、16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)3.2 一次回归正交设计及统计分析 4零水平基准水平重复试验 定义 就是指所有供试因素 Zj 的水平编码值均取零水平的水平组合重复进行假设干次试验。3.2 一次回归正交设计及统计分析试验号x1 (Z1)x2 ( Z2 )x3 ( Z3 )试验指标 yi1 1 (17) 1 (22.6) 1 (45.7)2 1 (17) 1 (22.6)-1 (24.3)3 1 (17)-1 (9.4) 1 (45.7)4 1 (17)-1 (9.4)-1 (24.3)5-1 (7) 1 (22.6) 1 (45.7)6-1 (7) 1 (22.

11、6)-1 (24.3)7-1 (7)-1 (9.4) 1 (45.7)8-1 (7)-1 (9.4)-1 (24.3)9 0 (12) 0 (16) 0 (35) N 0 (12) 0 (16) 0 (35)零水平重复试验表3-2 3元一次回归正交设计试验方案 零水平安排重复试验的主要作用 对试验结果进行统计分析时，可检验一次回归方程在被研究的整个回归区域内，特别是中心区的预测与实测值的拟合程度。 当一次回归正交设计属饱和安排时，可以提供剩余自由度，以提高试验误差估计的精确度和准确度。 至于基准水平的重复试验应安排多少次，主要应根据对试验的要求和实际情况而定。一般来讲，当试验要进行失拟性检验时

12、，基准水平的试验应该至少重复26次。 零水平安排重复试验的次数3.2 一次回归正交设计及统计分析 如果采用2水平正交表编制一次回归正交设计，一共进行了N 次试验，其试验结果以 y1, y2, y3, yN 表示，那么一次回归的数学模型为：3.2.2 一次回归正交设计试验结果的统计分析1建立多元回归方程关键是求解回归系数bj(a1，2，N， ij) (3-4)其结构矩阵 X 为： 记： Y=(y1,y2,yN) =0,1, 2, , m , 12 , 13 , ， (m-1)m =(1,2,N ) 那么(3-4)的矩阵形式为： Y = X + (3-5)根据最小二乘原理建立回归方程 (3-6)

13、其偏导函数等于零时构成的正规方程组为： Ab=B， b=A-1B=CB3.2 一次回归正交设计及统计分析 由于一次回归正交设计的结构矩阵 X 具有正交性，即除第1列的和为 N 外，其余各列的和以及任意两列的内积和均为零： 因而它的信息矩阵 A 系数矩阵为对角阵： 3.2 一次回归正交设计及统计分析A = X X =当 N 次试验中，零水平处重复 m0 次时，矩阵 A 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析当 m0 0时，矩阵 A 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析相关矩阵 C 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析当 m0 0 时，矩阵 C 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析当 m00

14、时，矩阵 C 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析常数项矩阵 B 为：3.2 一次回归正交设计及统计分析于是参数 的最小二乘估计 bA-1B =CB，即 (3-7) 以上可以看出，由于按正交表来安排试验和对变量进行了线性变换，使得信息矩阵的逆矩阵运算简单了，同时消除了偏归系数间的相关性，故一次回归正交设计的计算也就十分简单了。 3.2 一次回归正交设计及统计分析2)回归关系的显著性检验 (1)回归方程的显著性检验 平方和与自由度的分解(3-8)3.2 一次回归正交设计及统计分析其中:(3-9)在一次回归正交设计下，偏回归平方和： (3-10)或表示为：3.2 一次回归正交设计及统计分析(3-

15、11) 回归方程的显著性检验假设满足式(3-11)，那么一次回归方程显著；或反之。 (2)偏回归系数的显著性检验(3-12) 必须注意： 如果有不显著的偏回归系数(1个或多个)，可将其同时从回归方程中剔除，此时不影响其它回归系数的数值。 将剔除因素的偏回归平方和、自由度并入离回归平方和与自由度，进行有关检验。假设满足式(3-12)，那么偏回归系数Fj显著；或反之。 上述对一次回归的 F 检验，只能说明变量的作用相对于剩余均方而言，影响是否显著。 即使检验是显著的，也仅仅反映一次回归方程在其试验点上与试验结果拟合的较好，但并不能说明在被研究的整个回归区域的拟合情况如何，即不能保证所采用的一次回归

16、模型是最适宜的。3.2 一次回归正交设计及统计分析 (3)拟合度检验 拟合度检验亦称失拟性检验test of goodness of fit。 为了分析经F检验结果为显著的一次回归方程(这里包括有交互作用的情况)在整个被研究区域内的拟合情况，可通过在零水平(Z01 , Z02 , , Z0m)处所安排的重复试验来估计真正的试验误差，进而检验所建回归方程的拟合度，即失拟性。3.2 一次回归正交设计及统计分析 设在零水平处安排了 m0 次重复试验，试验结果分别为 y01, y01, , y0m, 那么利用这 m0个重复观测值可以计算出反映真正试验误差的平方和称为纯误差平方和及相应的自由度。即： (

17、3-13) 零水平处 m0次重复试验偏差平方和SSe3.2 一次回归正交设计及统计分析 此时，SSrSSe 反映除各 xj 的一次项(考虑互作时，还包括有关一级互作)以外的其他因素(包括别的因素和各 xj 的高次项等)所引起的变异，是回归方程所未能拟合的局部，称为失拟平方和，记为 SSLf，自由度记为 dfLf 。具体计算公式如下：(3-14) 总体偏差平方和与自由度的分解(3-15) 失拟偏差平方和SSLf3.2 一次回归正交设计及统计分析 失拟性 F 检验(3-16) a. 假设 FLf 显著，而 FR 不显著，说明所建立的回归方程拟合度差，需考虑别的因素或有必要建立二次甚至更高次的回归方

18、程或 y 与诸 xj 无关。 b. 假设 FLf 显著，而 FR 亦显著，说明所建立的一次回归方程有一定作用，但不能说明此方程是拟合得好的，仍需要查明原因，选用其它的数学模型，作进一步研究。 c. 假设 FLf 及 FR 均不显著，说明没有什么因素对 y 有系统影响或试验误差太大。 d. 假设 FLf 不显著，而 FR 显著，说明所建立的回归方程是拟合得好的。3.2 一次回归正交设计及统计分析3.2.3 一次回归正交设计的应用 例3-2 为了探索某水稻品种在低肥力土壤条件下，最正确的氮、磷、钾施用配方，采用一次回归正交设计进行试验。用Z1,Z2,Z3分别代表氮、磷、钾3种肥料，施用单位均为kg

19、666.67m2；试验指标y是水稻产量kg666.67m2。1因素水平及编码 氮、磷、钾3种肥料的因素水平及编码见表3-3。由公式(13-1)、(13-2)、 (13-3)计算出各因素的零水平、变化间隔及水平编码。 因素编码Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)上水平+18.010.012.0零水平06.06.07.5下水平-12.02.03.0间隔2.04.04.5表3-3 氮、磷、钾肥水平编码表 本例为3个因素,且存在3个1级交互作用，可选用L8(27)正交表经变换后进行试验方案设计。设计时，将 Z1,Z2和Z3 变换的 x1,x2和x3 分别置于L8(27)表的1，2，4列，各列的+1

20、和-1与相应因素的实际上、下水平对应，零水平中心区重复6次，具体方案见表34。试验号试验设计试验方案 x1 （1） x2 （2） x3 （4）Z1(N)Z2(P2O5)Z3(K2O)11118.010.012.0211-18.010.03.031-118.02.012.041-1-18.02.03.05-1114.010.012.06-11-14.010.03.07-1-114.02.012.08-1-1-14.02.03.090006.06.07.5100006.06.07.5110006.06.07.5120006.06.07.5130006.06.07.5140006.06.07.5表3

21、-4 三元一次回归正交设计试验方案2制定试验方案处理号x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.35141000000485.35表3-5 三元一次回归正交设计结构矩阵及试验结果3

22、建立回归方程 水稻氮、磷、钾肥试验一次回归正交设计结构矩阵及试验结果如表3-5所示。3.2 一次回归正交设计及统计分析处理号x0 x1x2x3x1x2x1x3x2x3y11111111500.002111-11-1-1467.35311-11-1-1-1462.65411-1-1-1-11462.3051-111-1-11463.1561-11-1-11-1463.5071-1-111-1-1460.5081-1-1-1111429.8091000000462.50101000000465.85111000000462.75121000000460.00131000000463.3514100

23、0000485.35aj=xj214888888y=648205Bj=xjy6482.0575.3578.7563.356.052.651.25SSy=2536.4774bj = Bj /aj463.00369.41889.84387.91880.75630.33130.1563SSR=1992.1993Qj = Bj2 /aj709.7028775.1953501.65284.57530.87780.1953SSr=544.2781表3-5 三元一次回归正交设计结构矩阵及计算表 根据试验结果，求解回归方程计算过程如表3-5所示。y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9

24、188x3+0.7563x1x2+0.3313x1x3+0.1563x2x3 根据表3-5计算的有关数据，可建立如下的回归方程。4回归关系的显著性检验。变异来源SSdfMSFF0.05x1709.70281709.70289.128*5.59x2775.19531775.19539.970*x3501.65281501.65286.452*x1 x24.575314.57530.059x1 x30.877810.87780.011x2 x30.195310.19530.003回归1992.1993 6332.03324.270*3.87离回归544.2781777.7540总变异2536.47

25、7413表3-6 回归关系的方差分析表由表3-5计算的有关数据，可列成如下方差分析表，表3-6。3.2 一次回归正交设计及统计分析检验结果说明：产量 y 与 x1, x2 和 x3 的回归关系均到达显著水平，与一级互作x1x2，x1x3，x2x3 均不显著。因此，可将一级互作的偏回归平方和及自由度并入离回归剩余项，而后再进行方差分析，结果见表3-7。表3-7 回归关系的第2次方差分析表变异来源SSdfMSFF0.05F0.01x1709.70281709.7028 12.9055 *10.04x2775.19531775.1953 14.096*x3501.65281501.6528 9.12

26、2*4.96回归1986.55093 662.1836 12.041*6.55离回归549.92651054.9927总变异2536.477413 第2次方差分析说明，产量 y 与各因素之间的总回归关系到达极显著，x1和x2到达极显著，x3到达显著。因此，回归方程可简化为：y=463.0036+9.4188x1+9.8438x2+7.9188x3 上述回归关系显著，只说明一次回归方程在试验点上与试验结果拟合得好；至于被研究的整个回归区域内部拟合如何，还需进一步作失拟性检验。3.2 一次回归正交设计及统计分析由公式3-13计算零水平点试验的纯误差平方和及其自由度： dfe = m0- 1 = 6

27、 - 1 = 5由公式3-14计算失拟平方和及其自由度：dfLf = dfr - dfe = 10 - 5 = 5故 所以 FLf 极显著。说明所建立的三元一次回归方程虽然有一定意义，但其在整个回归空间内的拟合度并不是很好的。因此，应考虑建立二次回归方程。这样，还需在因素空间内再选一些适当的试验点。5失拟性检验3.2 一次回归正交设计及统计分析 当我们对所研究的问题采用一次回归正交设计时，如果发现拟合程度不理想即失拟性检验显著或极显著，就说明一次回归设计不适宜，需要重新引入二次回归正交设计。因此，研究二次回归正交组合设计十分必要。3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析3.3.1 二次回归组合

28、设计 当有 m 个自变量时，二次回归方程式的一般形式为： (3-17)3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 1组合设计的提出其回归系数的个数包括 0式中： N 为试验处理数。(3-18)因此，回归方程的剩余自由度为 上式说明，为了使回归方程比较可信，要想获得 m 个变量的二次回归方程，组合试验的试验处理数 N 不能太小，至少应该 Q ，才能使得剩余自由度 dfr 不至于太小； 另一方面，为了使试验在实际操作中经济可行，试验的处理数 N 又不能太大。因此，试验处理数 N 确实定成为关键。 同时，为了计算二次回归方程的系数，每个因素所取的水平数应3。故 m 个因素自变量的3水平全面试验的试验处

29、理数 N 为： N 3m 。3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 表3-8列出了不同自变量数目 m26时，二次回归下3水平全面试验的剩余自由度 dfr 。可见，大多数3水平全面试验中，试验处理数和剩余自由度太大，因而工作量太大。 组合设计那么可解决这一矛盾。因素数回归系数个数 Q3水平全面试验组合设计实施mNdfrNdfrNdfr269393310271715541581662510521243222432227662872970177494517表3-8 全面试验与组合设计的剩余自由度3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 2组合设计的定义 由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型

30、点的数目试验处理数又可适当调节，所以组合设计在调节试验处理数 N ，进而调节剩余自由度 dfr 方面，要比全面试验灵活，并且也更为科学实用。 组合设计，就是在参试因子自变量的编码空间中选择几类不同特点即分别处于不同球面上的试验点，适当组合而形成试验方案。3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析3二次回归正交组合设计试验点的构成 这些点的每一个坐标，都分别各自只取+1或-1；这种试验点的个数记为 mc ；当这些点组成二水平全因素试验时 mc 2m 。假设根据正交表配置二水平局部实施(1/2或1/4 等)的试验点时，这种试验点的个数 mc 2m-1 或 mc 2m-2 。调节这个 mc ，就相应地

31、调节了误差剩余自由度 dfr 。 1二水平析因点 2轴点 这些点都在坐标轴上，且与坐标原点(中心点)的距离都为，即这些点只有1个坐标(自变量)取 或 - ，而其余坐标都取零。这些点在坐标图上通常都用星号标出，故又称星号点。其中 称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据正交性或旋转性的要求来确定。这些点的个数为 2m ，记为 m 。 3原点中心点 又称中心点(基准点)，即各自变量都取零的点，本试验点可作一次，也可重复屡次，其次数记为 m0 。调节 m0 ，显然也能相应地调节误差(剩余)自由度 dfr 。上述3种类型试验点个数的和，就是组合试验设计的总试验点(处理)数 N ，N = mc + 2 m

32、+ m0 (3-19)即： 例3-3 x1 与 x2 m2两个因素的二次回归正交组合设计。 两因素二次回归正交组合设计由9个试验点组成，其分布如图3-1所示图3-1 m2的二次回归正交组合设计试验点分布3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析处理号x1x2说 明111mc ：二水平(1和1)的全因素试验点22421-13-114-1-15+0m ：分布在 x1 和 x2 坐标轴上星号位置的试验点 224 6-070+80-900m0 ： x1 和 x2 均取零水平所组成的中心试验点表3-9 二元二次回归正交组合设计试验方案两因素二次回归正交组合设计试验方案处理组合，如表3-9所示3.3 二次回

33、归正交组合设计及其统计分析处理号x0 x1x2x1 x2x12x221111111211-1-11131-11-11141-1-111151+002061-0020710+002810-0029100000表3-10 二元二次回归组合设计的结构矩阵 两因素 x1 ,x2 二次回归组合设计的结构矩阵，如表3-10所示3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析处理号x1x2x3说 明1111这 8 个点组成 2 水平（1和1）的全因子试验 23 8211-131-1141-1-15-1116-11-17-1-118-1-1-1900这 6 个点分布在 x1 、x2 、x3轴上的星号位置10-0011

34、00120-013001400-15000由x1 、x2 、x3的零水平所组成的中心试验点表3-11 三元二次回归正交设计试验方案例3-4 x1 ,x2 ,x3三个因素 m3 的二次回归正交组合设计。 由15个试验点组成，其试验方案处理组合如表3-113.3 二次回归正交组合设计及其统计分析处理号x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x12x22x32111111111112111-11-1-1111311-11-11-1111411-1-1-1-1111151-111-1-1111161-11-1-11-111171-1-111-1-111181-1-1-1111111910000

35、0200101-00000200111000000201210-00000201310000000 214100-00000215100000000 0表3-12 三元二次回归组合设计的结构矩阵 三因素 x1 ,x2 ,x3 二次回归组合设计的结构矩阵如表3-12 3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析因素数 m选用正交表表头设计 mc2mm0NQ 2L4(23)1、2 列2242241963L8(27)1、2、4 列238236115104L16(215)1、2、4、8 列2416248125155L32(231)1、2、4、8、16 列25322510143215(1/2实施)L16(2

36、15)1、2、4、8、15 列25116251012721表3-13 二次回归组合设计试验点数不同因素个数的二次回归组合设计试验点组成见表3-13 3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 可使剩余自由度 dfr 取值适中，大大地节省试验处理数 见表3-8及表3-13，且因子数越多，试验次数减少得越多。 组合设计的试验点在因子空间中的分布是较均匀的。 组合设计还便于在一次回归的根底上实施。假设一次回归不显著，可以在原先的 mc 个二水平全面试验的或局部实施的试验点根底上，补充一些中心点与轴点试验，即可求得二次回归方程，这是组合试验设计的又一个不可比较的优点。4组合设计具有的优点3.3 二次回归

37、正交组合设计及其统计分析3.3.2 正交性的实现 由表3-10和表3-12可见，在参加中心点与轴点后，一次项( x1 , ,xm )与乘积项(xi xj,ij )并没有失去正交性，即： ( i,j =1, 2, , m) 而 x0 项和二次项( x12 , ,xm2 ) 那么失去了正交性，即：1)值确实定 表3-143.3 二次回归正交组合设计及其统计分析( j =1, 2, , m) 对平方项 x12 , ,xm2 进行中心化处理( j =1, , m； a =1, , N)(3-20)这样变换后的 x1, x2, ,xm 项与 x0 项正交：为了获得正交性：即令：3.3 二次回归正交组合设

38、计及其统计分析 取适当的轴臂 ，使变换后的 x1, x2, ,xm项之间具有正交性将3-20与3-19式代入，上式变为：(3-21)(ij ， i, j =1, 2, , m)即：(3-22) 由于 0，所以为了到达正交性，使式3-21，亦即3-22式成立，只须使：(3-23) 当试验因素数 m 和零水平重复次数 m0 确定时， 值就可以通过上式计算出来。为了设计方便，将由上式算得的一些常用 值列于表3-14。表3-14 二次回归正交设计常用 值表m0因 素 数 m2345(1/2实施)56(1/2实施)67(1/2实施)11.000001.215411.414211.546711.59601

39、1.724431.760641.8848821.078091.287191.482581.607171.661831.784191.824021.9434731.147441.353131.546711.664431.724431.841391.884882.0000041.210001.414211.607171.718851.784191.896291.943472.0546451.267101.471191.664431.770741.841391.949102.000002.1075461.319721.524651.718851.820361.896292.000002.054642

40、.1588471.368571.575041.770741.867921.949102.049152.107542.2086681.414211.622731.820361.913612.000002.096682.158842.2570991.457091.668031.867921.957592.049152.142722.208662.30424101.497551.711201.913612.000002.096682.187282.257092.35018111.535871.752451.957592.040962.142722.230732.304242.39498例如： 在 m

41、2 ，mc 2 m 4 且 m0 1 的情形下，由表3-14 可查得1。3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析2)平方项xj2的中心化处理 例如 在m2 ，mc2m4 且m01的情形下，由表3-14 可查得 1。由于m=2m=4，N=mc+m+m0=4+4+1=9所以：变换后使得即：实现了结构矩阵得正交性。3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析表3-15 二元二次回归正交组合设计的结构矩阵二元二次回归正交设计的结构矩阵如表3-15所示；处理号x0 x1x2x1 x2x1x2111110.3330.333211-1-10.3330.33331-11-10.3330.33341-1-110.3

42、330.333511000.333-0.66761-1000.333-0.66771010-0.6670.333810-10-0.6670.33391900-0.667-0.667经中心化变换后：3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析处理号x0 x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x1x2x3111111110.270.270.272111-11-1-10.270.270.27311-11-11-10.270.270.27411-1-1-1-110.270.270.2751-111-1-110.270.270.2761-11-1-11-10.270.270.2771-1-111-1-1

43、0.270.270.2781-1-1-11110.270.270.27911.215000000.746-0.73-0.73101-1.215000000.746-0.73-0.7311101.2150000-0.730.746-0.731210-1.2150000-0.730.746-0.73131001.215000-0.73-0.730.74614100-1.215000-0.73-0.730.746151000000-0.73-0.73-0.73表3-16 三元二次回归正交组合设计的结构矩阵3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析三元二次回归正交设计的结构矩阵如表3-16所示。 二次回

44、归正交组合设计的一般方法 与一次回归正交设计类似，二次回归正交组合设计的方法，同样是在确定试验因素的根底上拟定每个因素的上下水平；上水平以 Z2j 表示，下水平以 Z1j 表示，两者之算术平均数为零水平，以 Z0j 表示，见式3-1。 把上水平和零水平之差除以参数值可从表 3-14 查出，称为因素 Zj 的变化间距，以j 表示，即：(3-24) 即：对因素水平的取值作如下线性变换：(3-25) 1确定试验因素Zj 的变化范围 2对每个因素Zj的各个水平进行编码3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析注意：与(3-2) 式的区别表3-17 因素水平编码表 3根据试验因素的个数，选择适当的二水平正

45、交表，加上 mr与 m0 的试验点，构成试验方案编码Z1Z2Zm+Z21Z22Z2m+ 1Z01 + 1Z02 + 2Z0m + m0Z01Z02Z0m- 1Z01 - 1Z02 - 2Z0m - m-Z11Z12Z1m 这样就建立了各因素 Zij 与 xij 取值的对应关系，即：得到如下因素水平编码表3-17：3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析3.3.4 二次回归正交组合设计试验结果的统计分析 如果研究m个因素，采用二次回归正交组合设计共有N个处理，其试验结果以Y1，Y2，YN 表示，那么二次回归的数学模型如下(3-17)式。(3-26)用样本估计的经验回归方程为： 1)回归方程的建立

46、3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 当对平方项进行了中心变换，消除平方项与常数项的相关性以后，数学模型变化为： 例如： 当 m3 时，三元二次回归方程如下。其余依此类推3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析 1首先必须计算出不同类型的回归系数b0,bj,bij ,bjj。由于二次回归正交组合设计的结构矩阵 X 具有正交性，因而它的信息矩阵 A 为：其中：常数项矩阵 B 为：其中：相关矩阵 C 为：3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析于是二次回归方程的回归系数，那么：为简便起见，上述计算可列表进行，如表3-18所示。 3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析表3-18 二次回归正交设

47、计结构矩阵及运算表3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析其中：(3-27) (2)经过上述运算, 建立起相应的二次回归方程 2回归关系的显著性检验 (1) 回归方程显著性检验 (2)偏回归系数显著性检验 如果在中心点设有 m0 次重复，且试验结果分别为 y01，y02，y0m，那么可先用由此计算的误差平方和(SSe)对失拟平方和(SSLf)进行检验，这里有如果 那么说明回归方程拟合较好；否那么有其他因素存在，应考虑修改回归模型。 (3)失拟性检验3.3.5 二次回归正交组合设计的应用 例3-5 进行食品添香的试验。影响着香程度的3个主要因素为：Z1(香精用量), Z2(着香时间) , Z2(

48、着香温度) ，试进行二次回归正交组合设计，并通过统计分析获取有用信息。1)二次回归正交组合试验方案设计(1)确定 值、 mc 及 m0 根据本试验目的和要求，确定 mc 2 m 2 3 8 ， m0 1 ，查表3-14, 得1.215。(2)确定因素的上、下水平，变化间距以及对因子进行编码 表3-19编码Z1/(mLkg物料)Z2 / hZ3 / +182448+ 116.9422.645.70121635- 17.069.424.3-6822i4.946.610.7表3-19 三因素二次回归正交组合设计水平取值及编码计算各因素的零水平：Z01 (186)/212 (mL/kg)Z02 (24

49、8)/216 (h)Z03 (4822)/235 ()计算各因素的变化间距：01 (18-12)/1.2154.94 (mL/kg)02 (24-16)/1.2156.6 (h)03 (48-35)/1.21510.7 ()3.3 二次回归正交组合设计及其统计分析(3) 制定试验方案表3-20 三因素二次回归正交组合设计及实施方案试验号试 验 设 计实 施 方 案x0 x1x2香精用量mLkg-1着香时间h着香温度/ 111116.9422.645.7211-116.9422.624.331-1116.949.445.741-1-116.949.424.35-1117.0622.645.76-11-17.0622.624.37-1-117.069.445.78-1-1-17.069.424.391.2150018163510-1.21500616351101.2150122435120-1.21501283513001.2151216481400-1.21512162215000121635表3-21 食品添香试验三元二次回归正交组合设计结构矩阵及试验结果(4) 结构矩阵正交性的实现2试验结果的统计分析表3-22 食品添香试验三元二次回归正交组合试验结果统计分析表(1) 建立三元二次回归方程计算 b0：其中经过以上运算，可以初步建立多元回归方程：(2) 回归关系的显著性测验