图3 萨凯里四角形

他指出，顶角具有三种可能性并分别把它们命名为：直角假设、锐角假设、钝角假设。证得直角假设与平行公设等价。在假定直线无限长的条件下，推出钝角假设矛盾。在假设锐角情况时，得出了一些与事实矛盾的结论：如三角形内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该直线相交等等。

他继续研究直到得出以下定理：已给任一点与一条直线，在锐角假设下，在过A的直线束中，有两直线q与p把直线束分成两部分，第一部分包含与b相交的那些直线，第二部分包含的那些直线（在α角里面）将在直线上某处和b有共同垂线。直线q与p本身都渐近于从这个结果出发，经过冗长的一系列论证，萨凯里推导出与在无穷远的公共点处必将有一公垂线。这其中没有任何矛盾。但是却发现这个结论不太符合逻辑，所以他认为这个是不成立的。

后两个假设可以导致“矛盾”，根据归谬法就只剩下第一个假设成立，这样就证明了第五公设。

其实萨凯里在锐角假设下所推出的结论表明：在欧几里得《几何原本》中，可以用直角假设代替第五公设而得出欧几里得几何学，也可以用与第五公设相矛盾的锐角假设代替第五公设而得出与欧氏几何不同的新几何学，萨凯里没有看出这一点，失去了发现新几何学的机会。

但是克吕格尔看出了锐角假设没有导出矛盾，只是与经验不符。他提出了自己的见解：人们接受欧几里得平行公设的正确性是基于经验。这个意见首次引进的思想是：公理的实质在于符合经验而并非其不证自明。故而他成为第一位对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家。

图4 克吕格尔

兰伯特基于克吕格尔的见解，做出了更深的思考。他还是从四边形出发，不同的是构造方法不一样：三直角四边形。他对另一角做了直角、锐角、钝角三种假设，由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它，与萨凯里不同的是，他并不认为锐角假设导出的结论是矛盾的。他在证明的过程中也得到了很多有价值的结论，他的最显著的结果是在任何一个假设之下，n边形的面积正比于其内角之和与2n-4个直角的差。他也注意到了：钝角假设给出的定理，恰好和球面上图形成立的定理一样。于是他猜想锐角假设得出的结论可以应用于虚半径球面上的图形。

此外，他认识到只要一种假设不导致逻辑矛盾，就能提供一种几何学。这种几何是一种真的逻辑结构，虽然它或许对真实的图形作用很少，但不能限制逻辑上可能发展的千差万别的几何。他的工作虽然没有本质地推动非欧几何的确立，但是他开始怀疑欧几里得几何的唯一性，最先指出了通过替换平行公设而展开的无矛盾的几何学道路。

此外，还有一些数学家的工作也发挥了重要的作用。

勒让德花了20年的时间研究平行公设问题，想要用其他的定理证明它，但每次都有缺点。因为他总是隐含地假设一些不应该假设的东西，或者都假设了一个和第五公设同样有问题的公设。但是他在很多书和文章中写了他的结果，在欧几里得的各次版本中讨论这个问题，在他的不懈努力下，平行公设问题得到普及。

图5 勒让德

施韦卡特在第五公设的问题上更近了一步。他在1816年写了一份备忘录，区分了欧几里得几何和三角形内角和不是两直角的几何。他称之为“星空几何”，因为他认为它可能在星空内成立，他还写信和高斯交流过。

托里努斯是施伟卡特的外甥，继续研究星空几何，得到一些新的结果：虚半径球面上成立的公式恰好就是星空几何中所成立的。（虚半径球面：实球面的半径由整数收缩到0变成点球面，加入半径继续缩，就会变成虚球面。其中引出了虚数，这是复变函数的开端）。在《几何原理初步》中，他根据锐角建设了新型的解析几何学，得出了许多半径为虚数的球面几何学基本公式，称之为球面几何学。还用双曲函数代替了椭圆三角函数等等。

然而尽管如此，他却认为，只有欧几里得几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上的相容。作为空间几何的基础，他拒绝了这种几何。

图6 非欧几何

以上这些是在非欧几何正式提出之前的数学家们所作的工作，虽然由于当时的观念水平和思维水平所限，没有深入下去，但它触碰到了非欧几何的部分内容，为非欧几何的产生奠定了基础。返回搜狐，查看更多