五色定理是图论中的一个结论：将一个平面分成若干区域，给这些区域染色，且保证任意相邻区域没有相同颜色，那么所需颜色不超过五种。五色定理比四色定理弱，也比四色定理更容易证明。1879年，阿尔弗雷德·布雷·肯普（英语：Alfred Kempe）给出了四色定理的一个证明，当时为人所接受，但11年后，珀西·约翰·希伍德却发现了肯普的证明中存在错误，他把肯普的证明加以修改，得到了五色定理。

以下是对五色定理的证明[1]。

给定 n {\displaystyle n}  阶平面图 G {\displaystyle G}  ，我们对 G {\displaystyle G}  的阶数进行归纳证明。

当 n ≤ 5 {\displaystyle n\leq 5}  时，正确性显然。

假设 n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6}  且对于任意的 n − 1 {\displaystyle n-1}  阶平面图该结论成立。因为 G {\displaystyle G}  是平面图，那么存在点 v ∈ V ( G ) {\displaystyle v\in V(G)}  ，满足 d ( v ) ≤ 5 {\displaystyle d(v)\leq 5}  （通过欧拉公式可知对任意平面图 G {\displaystyle G}  ， δ ( G ) ≤ 5 {\displaystyle \delta (G)\leq 5}  ）。

考虑图 G ′ := G − v {\displaystyle G':=G-v}  。因为 | G ′ | = n − 1 {\displaystyle |G'|=n-1}  ，由归纳假设知 G ′ {\displaystyle G'}  能进行5-着色。假设 G ′ {\displaystyle G'}  使用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 {\displaystyle 1,2,3,4,5}  五种颜色着色。考虑 v {\displaystyle v}  的相邻点，如果在 G ′ {\displaystyle G'}  中它们用了不到五种颜色着色，那么我们从剩下的颜色中选一个为 v {\displaystyle v}  着色，就得到了 G {\displaystyle G}  的一个5-着色方式。如果在 G ′ {\displaystyle G'}  中它们用上了所有五种颜色，这就意味着 v {\displaystyle v}  有且仅有5个相邻点（ d ( v ) ≤ 5 {\displaystyle d(v)\leq 5}  ），从顺时针方向我们依次称它们为 w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 {\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4},w_{5}}  ，不失一般性，假设 w i {\displaystyle w_{i}}  的颜色为 i {\displaystyle i}  。

我们希望通过调整 G ′ {\displaystyle G'}  的着色方式，使得 v {\displaystyle v}  有色可染。考虑 G ′ {\displaystyle G'}  中所有颜色为 1 {\displaystyle 1}  或 3 {\displaystyle 3}  的点。

综上所述， G {\displaystyle G}  能进行5-着色。