四维空间(一):简单几何体 |
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#本文讨论的是纯空间上的欧氏四维几何,而不是物理上的闵氏四维时空!(试想如果有二维生物,他们可能会认为三维是2维空间+时间,这就是三维时空,而不是我们的三维欧氏几何空间)本文不讨论把第4个方向当时间的情况!所以本文不会涉及物理相对论等内容。 ![]() 图片来自en.wikipedia:By Vitaly Ostrosablin #本文针对于对四维空间有初步了解(比如知道超立方体等)的读者写的。如还没了解,推荐视频《维度:数学漫步》(它对我数学影响深远),CFY的这篇文章对四维空间有更基础的介绍。(CFY和我一起研究的四维空间,可能有些介绍有重复) 四维空间太抽象,所以我们不能直接感性地接触它(直接看到或摸到),但我们可以用类比法或解析法像“盲人摸象”那样建立起对它的认识。类比法较直观,但对想象力要求高,且不严谨;解析法(计算法)严谨,但缺乏直观几何意义,滥用会把几何沦为代数,只有两者结合起来才能更好地认识四维空间。 特色内容 各种柱体、锥体 超体积、表体积的计算 本文目录: 超立方体、超长方体类比性质 一般柱体 圆柱柱 棱柱柱 球柱 各种锥体 超立方体、超长方体类比性质关于面的形状、面数、顶点数等基本参数我就不罗嗦了,我们看其它性质: 和正方体一样,它是柱体,它的“底胞”是正方体(即“3维的底面”,我们以后说胞指3维面),它的高$h$就是棱长,等于底胞正方体的边长。 它是特殊的“超长方体”,“超长方体”是特殊的“平行8胞体”。(类比:正方体、长方体、平行6面体) 棱长为$a$cm的超立方体“超体积”为$a^4$cm4,它有着“表体积”$8a^3$cm3。(类比:正方体体积和表面积) 根据勾股定理或坐标计算,单位超立方体体对角线(即超立方体上最远两点距离)为一整数:$\sqrt4=2$,(而正方体$\sqrt3$、正方形$\sqrt2$是无理数) 超长方体很多性质和长方体类似,它的尺寸要四个参数描述:长$a$、宽$b$、高$c$、厚$d$,超体积$=abcd$,表体积$=2(bcd+acd+abd+abc)$…… 一般柱体一般柱体是以任意三维几何体为底面,沿不在底面所在三维空间的方向拉出来的几何体。如果这个方向垂直底面,就是正柱体,否则为斜柱体,我们先只讨论正柱体。可能有点抽象,但没关系,比如体积公式我们还是能猜出:$V=Sh$,下面我们就看看具体的几个例子:长方体柱就是超长方体,对吧?我们还有:返回目录 圆柱柱 底面三维图形是圆柱的柱体:设底面圆柱高为$h_1$,半径为$r$,圆柱柱高为$h_2$,我们可以类比想出体积$=\pi r^2 h_1 h_2$。 ![]() ![]() 从球极投影我们就发现电脑计算圆柱是用棱柱近似的,所以棱柱的性质和圆柱差不多,只不过注意圆柱那张曲面不见了,取而代之的是很多很薄的长方体(比如下图红色那片)组成:$n$棱柱柱由$4$个$n$棱柱和$n$个长方体共$n+4$个胞围成,比如超立方体是四棱柱(立方体)柱,$n=4$,有8个面。 我们怎样计算任意柱体的棱数、二维面数、胞(三维面)数?除了画出来一个一个数,我们还可以从底胞推出来:点动成线,线动成面,面动成体。所以侧面胞数(3维的体)等于底胞的二维面数,都是以对应底胞二维面为底面的柱体(底胞二维面为曲面时会形成“曲胞”:弯曲的三维面);侧面二维面数等于底胞的棱数,都是一些长方形;侧面棱数等于底胞顶点数。当然记总数时别忘了把上下两底胞算进去。 返回目录 球柱 它的超体积自然是底胞球体体积乘以高,表面积呢?我们想到自然是底胞球体表面积乘以高。没错,但这里有个小问题:球体是无法在三维空间中展开成平面的,所以它的侧面你是展不开的,也就是说四维空间里的柱体侧面不像三维那样都能展开的!因为三维柱体底面的二维图形总能拉成一条线,但现在却不行了。当然这并不妨碍我们计算表面积,因为我们可以把球微元细分展成无数多小柱体再求和,结果还是底胞球体表面积乘以高。 以后我们还会分析讨论球柱、圆柱柱、超球摆在在四维空间的桌子上里能够如何滚动,直观体会四维空间这个神奇世界。 锥体是以任意三维几何体为底面,在除底面所在三维空间的任意地方选一个点,将此点与底面所有顶点连接得到的几何体。 同样,我们怎样计算任意柱体的棱数、二维面数、胞(三维面)数?侧面胞数(3维的体)还是等于底胞的二维面数,但他们都是以对应底胞二维面为底面的锥体;侧面二维面数等于底胞的棱数,都是一些三角形;侧面棱数等于底胞顶点数。记总数时还得把底胞算进去。 锥体的体积和表面积 我上小学时老师和课本是这样讲圆锥体积公式的:把等底等高的圆锥和圆柱放到装满沙子的杯里测体积,发现圆锥恰好是圆柱的$\frac13$,没有任何解释。后来讲祖暅原理和微积分才解释了这个问题。四维椎体计算公式为$V=\frac14Sh$,这是能用微积分证明的,证明略。($n$维锥体就是$V=\frac1nSh$) 可以想象高维空间一定还有圆柱柱锥锥、圆锥柱锥柱锥柱锥柱等……幸好我们不在那些疯狂的维度! 锥锥柱柱,柱柱锥锥,这个柱锥,你明白了吗?恭喜你已经有四维文明小学生对几何图形的认识水平了!下一节我们就该学初中的几何了,去看看他们文明中的欧几里德写的著作吧!返回目录 注:以前不知在哪看到一篇博文(现在搜不到了,估计是百度空间),由于有“点线面体”,所以作者主张把四维的“超体”取个新名字,叫“太”,超立方体改叫正方太,2维$\mathbf S^1$是圆,3维$\mathbf S^2$是球,4维$\mathbf S^3$“超球”叫“珍”,故超球体叫“珍太”,超球三维面叫“珍体”,这样会较好地避免歧义。我认为这是一套科学的命名法,如果存在四维文明的话,他们应该就是以这种模式叫的。但由于这些名称太诡异,我还是遵从大众的叫法。 查看系列目录 下一篇 |
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