所要证明的公式也可以视为由三部分组成：

下图中，第一个四面体ABCF的体积是底面ABC的面积P乘以高h再除以3，对应于上式第一项；第二个四面体ADEF的体积是底面DEF的面积乘以高h再除以3，对应于上式第三项。于是，只需证明四面体ABEF的体积等于上式第二项即可。

如上图所示。我们先考虑由四面体ABCF和ABEF构成的立体ABCFE。显然，三角形BCF和BFE位于同一个平面上三棱台一个侧面BCFE上，且两者正好构成梯形BCFE（棱台的侧面一定是梯形，这是因为棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得）。于是，我们把四面体ABCF看成是底面为BCF的三棱锥A-BCF（加杠“-”是为了明确“-”前的字母代表顶点，“-”后的字母代表底面）；同样，把四面体ABFE看成是底面为BFE的三棱锥A-BFE。这两个底面位于同一平面上的三棱锥的高相同且以ABF为接触面。所以，三棱锥A-BCF的体积（设为V1）与三棱锥A-BFE的体积（设为V2）的比值就等于三角形BCF的面积（设为S1）与三角形BFE的面积（设为S2）的比值。但又因为BC平行于EF，所以，这两个三角形具有相同的高（把BC和EF视为两个三角形各自的底边），于是，这两个三角形面积的比值就等于它们的底边的比值，即BC : EF。

同理，四面体ABFE和四面体ADEF被分别视为三棱锥F-ABE和三棱锥F-ADE时，它们构成一个四棱锥F-ABED，所以三棱锥F-ABE的体积（V2）与三棱锥F-ADE的体积（V3）的比值就是三角形ABE的面积与三角形ADE的面积的比值，而ABED是梯形，所以，这两个三角形面积的比值等于AB : DE。我们用公式表示上面所得到的两个比值更加清楚：

但因为三棱台上、下底面对应边成比例，所以，上面两式中右边两个比值相等。于是得到

即四面体ABFE的体积（V2）是其他两个分别以三棱台上、下底面为一个面的四面体（ABCF和ADEF）的体积（V1和V3）的几何平均值。由

显然可以得到

于是，我们就证明了题目中的公式：

我们可以这样理解这个公式：三棱台体积等于三个与三棱台等高的三棱锥的体积的和，这三个三棱锥的底面面积分别是：三棱台的上底面面积P；下底面面积Q；P和Q的几何平均值（PQ的平方根）。

这个公式可以推广到任意棱台，公式中的P是棱台上底面的面积，Q是棱台下底面的面积。返回搜狐，查看更多