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1、k-近邻法简介 k近邻法(k-nearest neighbor, k-NN)是1967年由Cover T和Hart P提出的一种基本分类与回归方法。它的工作原理是:存在一个样本数据集合,也称作为训练样本集,并且样本集中每个数据都存在标签,即我们知道样本集中每一个数据与所属分类的对应关系。输入没有标签的新数据后,将新的数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较,然后算法提取样本最相似数据(最近邻)的分类标签。一般来说,我们只选择样本数据集中前k个最相似的数据,这就是k-近邻算法中k的出处,通常k是不大于20的整数。最后,选择k个最相似数据中出现次数最多的分类,作为新数据的分类。 举个简单的例子,我们可以使用k-近邻算法分类一个电影是爱情片还是动作片。 表就是我们已有的数据集合,也就是训练样本集。这个数据集有两个特征,即打斗镜头数和接吻镜头数。除此之外,我们也知道每个电影的所属类型,即分类标签。用肉眼粗略地观察,接吻镜头多的,是爱情片。打斗镜头多的,是动作片。以我们多年的看片经验,这个分类还算合理。如果现在给我一部电影,你告诉我这个电影打斗镜头数和接吻镜头数。不告诉我这个电影类型,我可以根据你给我的信息进行判断,这个电影是属于爱情片还是动作片。而k-近邻算法也可以像我们人一样做到这一点,不同的地方在于,我们的经验更"牛逼",而k-近邻算法是靠已有的数据。比如,你告诉我这个电影打斗镜头数为2,接吻镜头数为102,我的经验会告诉你这个是爱情片,k-近邻算法也会告诉你这个是爱情片。你又告诉我另一个电影打斗镜头数为49,接吻镜头数为51,我"邪恶"的经验可能会告诉你,这有可能是个"爱情动作片",画面太美,我不敢想象。 (如果说,你不知道"爱情动作片"是什么?请评论留言与我联系,我需要你这样像我一样纯洁的朋友。) 但是k-近邻算法不会告诉你这些,因为在它的眼里,电影类型只有爱情片和动作片,它会提取样本集中特征最相似数据(最邻近)的分类标签,得到的结果可能是爱情片,也可能是动作片,但绝不会是"爱情动作片"。当然,这些取决于数据集的大小以及最近邻的判断标准等因素。
2、距离度量 我们已经知道k-近邻算法根据特征比较,然后提取样本集中特征最相似数据(最邻近)的分类标签。那么,如何进行比较呢?比如,我们还是以表1.1为例,怎么判断红色圆点标记的电影所属的类别呢? 如下图所示。 我们可以从散点图大致推断,这个红色圆点标记的电影可能属于动作片,因为距离已知的那两个动作片的圆点更近。k-近邻算法用什么方法进行判断呢?没错,就是距离度量。这个电影分类的例子有2个特征,也就是在2维实数向量空间,可以使用我们高中学过的两点距离公式计算距离,如图1.2所示。 通过计算,我们可以得到如下结果: (101,20)->动作片(108,5)的距离约为16.55 (101,20)->动作片(115,8)的距离约为18.44 (101,20)->爱情片(5,89)的距离约为118.22 (101,20)->爱情片(1,101)的距离约为128.69 通过计算可知,红色圆点标记的电影到动作片 (108,5)的距离最近,为16.55。如果算法直接根据这个结果,判断该红色圆点标记的电影为动作片,这个算法就是最近邻算法,而非k-近邻算法。那么k-近邻算法是什么呢?k-近邻算法步骤如下: 1. 计算已知类别数据集中的点与当前点之间的距离; 2. 按照距离递增次序排序; 3. 选取与当前点距离最小的k个点; 4. 确定前k个点所在类别的出现频率; 5. 返回前k个点所出现频率最高的类别作为当前点的预测分类。 比如,现在我这个k值取3,那么在电影例子中,按距离依次排序的三个点分别是动作片(108,5)、动作片(115,8)、爱情片(5,89)。在这三个点中,动作片出现的频率为三分之二,爱情片出现的频率为三分之一,所以该红色圆点标记的电影为动作片。这个判别过程就是k-近邻算法。
3、Python3代码实现 我们已经知道了k-近邻算法的原理,那么接下来就是使用Python3实现该算法,依然以电影分类为例。 (1)准备数据集 对于表1.1中的数据,我们可以使用numpy直接创建,代码如下: # -*- coding: UTF-8 -*- import numpy as np """ 函数说明:创建数据集 Parameters: 无 Returns: group - 数据集 labels - 分类标签 Modify: 2017-07-13 """ def createDataSet(): #四组二维特征 group = np.array([[1,101],[5,89],[108,5],[115,8]]) #四组特征的标签 labels = ['爱情片','爱情片','动作片','动作片'] return group, labels if __name__ == '__main__': #创建数据集 group, labels = createDataSet() #打印数据集 print(group) print(labels)
(2)k-近邻算法 根据两点距离公式,计算距离,选择距离最小的前k个点,并返回分类结果。 # -*- coding: UTF-8 -*- import numpy as np import operator """ 函数说明:创建数据集 Parameters: 无 Returns: group - 数据集 labels - 分类标签 Modify: 2017-07-13 """ def createDataSet(): #四组二维特征 group = np.array([[1,101],[5,89],[108,5],[115,8]]) #四组特征的标签 labels = ['爱情片','爱情片','动作片','动作片'] return group, labels """ 函数说明:kNN算法,分类器 Parameters: inX - 用于分类的数据(测试集) dataSet - 用于训练的数据(训练集) labes - 分类标签 k - kNN算法参数,选择距离最小的k个点 Returns: sortedClassCount[0][0] - 分类结果 Modify: 2017-07-13 """ def classify0(inX, dataSet, labels, k): #numpy函数shape[0]返回dataSet的行数 dataSetSize = dataSet.shape[0] #在列向量方向上重复inX共1次(横向),行向量方向上重复inX共dataSetSize次(纵向) diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet #二维特征相减后平方 sqDiffMat = diffMat**2 #sum()所有元素相加,sum(0)列相加,sum(1)行相加 sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1) #开方,计算出距离 distances = sqDistances**0.5 #返回distances中元素从小到大排序后的索引值 sortedDistIndices = distances.argsort() #定一个记录类别次数的字典 classCount = {} for i in range(k): #取出前k个元素的类别 voteIlabel = labels[sortedDistIndices[i]] #dict.get(key,default=None),字典的get()方法,返回指定键的值,如果值不在字典中返回默认值。 #计算类别次数 classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel,0) + 1 #python3中用items()替换python2中的iteritems() #key=operator.itemgetter(1)根据字典的值进行排序 #key=operator.itemgetter(0)根据字典的键进行排序 #reverse降序排序字典 sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True) #返回次数最多的类别,即所要分类的类别 return sortedClassCount[0][0] if __name__ == '__main__': #创建数据集 group, labels = createDataSet() #测试集 test = [101,20] #kNN分类 test_class = classify0(test, group, labels, 3) #打印分类结果 print(test_class)
可以看到,分类结果根据我们的"经验",是正确的,尽管这种分类比较耗时,用时1.4s。 到这里,也许有人早已经发现,电影例子中的特征是2维的,这样的距离度量可以用两 点距离公式计算,但是如果是更高维的呢?对,没错。我们可以用欧氏距离(也称欧几里德度量),如图1.5所示。我们高中所学的两点距离公式就是欧氏距离在二维空间上的公式,也就是欧氏距离的n的值为2的情况。 看到这里,有人可能会问:“分类器何种情况下会出错?”或者“答案是否总是正确的?”答案是否定的,分类器并不会得到百分百正确的结果,我们可以使用多种方法检测分类器的正确率。此外分类器的性能也会受到多种因素的影响,如分类器设置和数据集等。不同的算法在不同数据集上的表现可能完全不同。为了测试分类器的效果,我们可以使用已知答案的数据,当然答案不能告诉分类器,检验分类器给出的结果是否符合预期结果。通过大量的测试数据,我们可以得到分类器的错误率-分类器给出错误结果的次数除以测试执行的总数。错误率是常用的评估方法,主要用于评估分类器在某个数据集上的执行效果。完美分类器的错误率为0,最差分类器的错误率是1.0。同时,我们也不难发现,k-近邻算法没有进行数据的训练,直接使用未知的数据与已知的数据进行比较,得到结果。因此,可以说k-近邻算法不具有显式的学习过程。
-------------------------------------------------------------------------- 1、ndarray.ndim 指数组的维度,即数组轴(axes)的个数,其数量等于秩(rank)。通俗地讲,我们平时印象中的数组就是一维数组,维度为1、轴的个数为1、秩也等于1;最常见的矩阵就是二维数组,维度为2、轴的个数为2(可以理解为由x轴、y轴组成)、秩等于2;我们所知的空间就相当于三维数组,维度为3、轴的个数为3(x、y、z轴)、秩等于3;以此类推。 2、ndarray.shape 按教程的话翻译过来是数组的维度,这样就很容易和ndim的概念混淆。所以可以这样理解,shape的返回值是一个元组,元组的长度就是数组的维数,即ndim。而元组中每个整数分别代表数组在其相应维度(/轴)上的大小。以最常见的矩阵为例,print shape后返回(2,3),说明这是一个2行3列的矩阵。 下面说一下tile函数,其原型如下。
原型:numpy.tile(A,reps) tile共有2个参数,A指待输入数组,reps则决定A重复的次数。整个函数用于重复数组A来构建新的数组。 If `reps` has length ``d``, the result will have dimension of ``max(d, A.ndim)``. 若rep是单一实数: 1、通过重复reps次A来构造出一个新数组。 >>> import numpy as np >>> a = np.array([0, 1, 2]) >>> np.tile(a, 2) array([0, 1, 2, 0, 1, 2]) >>> b = np.array([[1, 2], [3, 4]]) >>> np.tile(b, 2) array([[1, 2, 1, 2], [3, 4, 3, 4]])
2、如果参数reps存在长度 d = len(reps) 的话,那么函数返回的新数组的维数就是 max(d, A.ndim)。 假设reps的维度为d,那么新数组的维度为max(d,A.ndim)。下面分三种情况进行讨论: (1)A.dim < d 则向A中添加新轴扩充A的维度。维度大小可以从shape中看出,一般通过向shape对应的元组中添加1完成对A维度的扩充。扩充完成后,则可根据reps的值对A中相应维度的值进行重复。 d 决定提升到几维。(m,n,x)从后向前看,结果从里往外看。是多少就重复几次。 print(np.tile([1,2,3], 1)) [1 2 3] print(np.tile([1,2,3], 2)) [1 2 3 1 2 3] print(np.tile([1,2,3], (1,1))) [[1 2 3]] print(np.tile([1,2,3], (2,1))) [[1 2 3] [1 2 3]] print(np.tile([1,2,3], (1,2))) [[1 2 3 1 2 3]] print(np.tile([1,2,3], (1,2,3))) [[[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]]] print(np.tile([1,2,3], (5,2,3))) [[[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]] [[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]] [[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]] [[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]] [[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]]]
(2)A.dim > d 将reps扩充至与A相同的维度。扩充方法同上,也是向shape对应元组中添1,然后再进行重复。 例如,4维数组A的shape为(2,3,4,5),而reps为(2,2)只有2维,那么就要对reps添维进行扩充,得到(1,1,2,2) (3)A.dim = d 不需要扩充,直接按reps的值对相应维度的值进行重复。 >>>from numpy import * >>> a = array([1,2,3]) >>>print a.shape (3.) >>>print a.ndim 1 >>>b = tile(a,2) >>>print b [1 2 3 1 2 3] >>>print b.shape (6,) >>>print b.ndim 1 >>>c = tile(a,(2,3)) >>>print c [[1 2 3 1 2 3 1 2 3] [1 2 3 1 2 3 1 2 3]] >>>print c.shape (2,9) >>>print c.ndim 2 |
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