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第二节 基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果则 (当且仅当“”时取“”).特例：.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知（1）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即“和为定值,积有最大值”.（2）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即积为定值,和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5 “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,变式1 已知且,则（ ）A. B. C. D.变式2 (2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．例7.6 若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 （写出所有正确命题的序号）.1 ；②；③；④；⑤.变式1 如果正数满足,那么（ ）A. ,且等号成立时的取值唯一B. ,且等号成立时的取值唯一C. ,且等号成立时的取值不唯一D. ,且等号成立时的取值不唯一题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时,要把握四个方面,即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值,可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”,求最值时,这是个方面缺一不可,若忽视了某个条件的验证,可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组,反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若,求函数的最小值；变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8 已知求函数的最大值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足,则当取得最大值时,最大值为（ ）A. B. C. D.三、“1”的变换例7.9 已知,且,求的最小值.变式1 已知,,,则的最小值是变式2 求函数的最小值变式3已知,证明：变式4 设,则当 时,最得最小值.四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数满足,则：（1）的取值范围是（2）的取值范围是变式1 若满足,则的最小值是变式2 若满足,则的最小值是变式3 若满足,则的最小值是（ ）五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设,,则的最大值为变式１　已知,,,求的最小值．六、合理配组,反复应用基本不等式例7.12 设,则的最小值是（ ）变式1 若,,满足的最小值是（ ）变式2 若是正数,则的最小值是（ ）题型93 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.例7.13 （1）,求证：（2）,求证：（3）,且,求证：变式1若,且,求证：变式2 证明：若,则最有效训练题27（限时45分钟）1．函数（）在处取得最小值,则（ ）2．已知，则的最小值是（ ）3．若,,恒成立,则实数的取值范围是（ ）4．已知,且,则的最大值为（ ）5．若,,且则（ ）6．若,则点必在（ ）直线的左下方 直线的右上方直线的右上方 直线的左下方7．在“+”中的“ ”处分别填上一个自然数,使他们的和最小,其和的最小值为8．设，若，则的最大值为9．已知关于的不等式在上恒成立,则实数的最小值为10．（1）设，求函数的最小值为_______________（2）设,求函数的最小值.（3）已知,,且,求的最小值（4）若正数满足,则的最小值是11．已知为正数,求证：.12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车辆速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,当车流速度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.（1）当时,求函数的表达式；（2）当车密度为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/每小时）可以达到最大,并求出最大值（精确到1辆/小时）.PAGE10第二节 基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果则 (当且仅当“”时取“”).特例：.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知（1）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即“和为定值,积有最大值”.（2）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即积为定值,和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5 “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然,因为的条件是, 故选A.变式1 已知且,则（ ）A. B. C. D.解析 由及,可推出,由可推出,故选项都不对,故选.变式2 (2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．解析 一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时取等号．故填．例7.6 若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 （写出所有正确命题的序号）.1 ；②；③；④；⑤.解析：对于①,由及得即(当且仅当时取等号),故①正确；对于②,由及得,即(当且仅当时取等号),故②正确；对于③,由,,故③正确. 对于④,因此(当且仅当时取等号),故④不恒成立；对于⑤,又,则,故⑤正确,故填①③⑤.变式1 如果正数满足,那么（ ）A. ,且等号成立时的取值唯一B. ,且等号成立时的取值唯一C. ,且等号成立时的取值不唯一D. ,且等号成立时的取值不唯一解析 正数满足,所以,即,当且仅当时,等号成立.又,所以,当且仅当时,等号成立；综上得,且等号成立时,的取值都为2.故选A.题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时,要把握四个方面,即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值,可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”,求最值时,这是个方面缺一不可,若忽视了某个条件的验证,可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组,反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若,求函数的最小值；（2）若,求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件,可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为,故需先转化为,才能利用基本不等式求最值.解析：因为,由基本不等式得,当且仅当,即时,取最小值.（2）因为,所以,则且,即. 当且仅当即时,取最大值.故函数的值域为评注：解（1）时,应注意积为定值这个前提条件；解（2）时,应注意使用基本不等式求最值时,各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.解析 （1）令,则函数,当且仅当,即时,此时取等号.故函数的值域为.（2）,令,则,当且仅当时取等号,故函数的最小值为.（3）令,所以,在上为增函数,所以当,即时,.评注 利用基本不等式要注意验证等号条件是否成立.当不能使用基本不等式求取最值时,可考虑利用函数的单调性求最值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8 已知求函数的最大值.分析：因为,所以首先要调整符号,又不是常数,所以要对进行拆凑项,通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式,从而求得函数的最值.解析：因为,所以,由（当且仅当时,即时取等号）得. 所以函数的最大值为.当且仅当时,即时取等号,故当时,.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件,即“一正二定上相等四同时”必须全部满足,方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”,则如下求解：因为,所以,为错误求解,错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证,事实上,.一般地,对勾函数在上单调递减,在上单调递增,若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外,还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.必为“求的最大值”.若求解解过程如下：因为,所以,故的最大值为3.则求解过程和答案都是错误的,其错误的原因就是只注意基本不等式的形式特点,忘记我们的“三相等”是否成立的验证工作.若通过验证“三相等”条件：当且仅当,即时,取到等号.可知这样的实数并不存在,即本题不能使用基本不等式求解,故本求解过程和答案都是错误的,这时可考虑利用对勾函数的单调性求解,易求得最大值为.变式2 设正实数满足,则当取得最大值时,最大值为（ ）A. B. C. D.解析 由,得.因,则（当且仅当,即时等号成立）,所以,即的最大值为1,此时,则,所以当时,取最大值为1,所以的最大值为1.故选B.三、“1”的变换例7.9 已知,且,求的最小值.分析：利用条件中“”的变换.解析：解法一：因为,且,所以.当且仅当即的最小值16.解法二：由,且,得,所以10.因为,所以,所以.当且仅当,即时取等号,此时,所以当时,取得最小值评注 本题的解法一是利用条件中的“”,代换成“”,将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式,使得题目顺利求解,但下面的解法是错误的：因为,即,所以,错误的原因在于连续使用了两次基本不等式,但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证,其实,这两次“=”不能同时取得,这就提醒我们,在多次使用基本不等式时,一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知,,,则的最小值是解析 由,得,所以（当且仅当,即时,取“=”号）,因此最小值为.变式2 求函数的最小值分析 利用中“1”的变换.解析 因为,所以（当用仅当时取等号）,即当时,函数的最小值为.变式3已知,证明：分析 将原不等式等价转化后,再利用基本不等式.解析 因原不等式.因为,所以,而（当且仅当时取“=”）.故原不等式成立.变式4 设,则当 时,最得最小值.解析 由,（当且仅当时取“=”）,且或,当取得最小值时,此时,得.故时取得最小值.四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数满足,则：（1）的取值范围是（2）的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知,只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式,然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.,当且仅当时取等号,所以,解得或（舍）,所以,故有.当且仅当时取等号,即的取值范围是解法二：判别式法.令（）,则,代入原式得,,整理得.,得或（舍）,的取值范围是（2）解法一：,当且仅当时取等号,令,则,整理得即得或（舍）,即的取值范围是解法二：判别式法,令（）,则,代入原式得,,整理得,得或（舍）.即的取值范围是评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣,试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若满足,则的最小值是解析 因为,所以,即,又,得,故的最小值是18.变式2 若满足,则的最小值是解析 因为,解得,或,又,故,即的最小值是.变式3 若满足,则的最小值是（ ）解析 因为,令,得,即,由,可得,即的最小值为4.故选B.五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设,,则的最大值为分析 观察所求式子与题中所给条件的联系,运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 ,,所以（当且仅当时取“=”,即,时取“=”）. 的最大值为.评注 本题除了利用基本不等式求解外,还可以利用已知条件中的,采用三角换元来求解,望同学们自己尝试．变式１　已知,,,求的最小值．分析 对于正实数,均可用基本不等式,取“=”的条件是,此时,与矛盾,故此题要利用基本不等式的变形形式求解.解析 由,知,所以.当且仅当,且时取等号,此时.故的最小值是.评注 会灵活运用基本不等式的变形形式及来求解最小值.同时要注意两次使用基本不等式取等号的条件是否同时成立,这是多次使用基本不等式求解函数最值的一大陷阱.六、合理配组,反复应用基本不等式例7.12 设,则的最小值是（ ）解析 解法一：因为,所以.故则（当且仅当与,同时成立时,取得“=”）,即当,时,的最小值为,故选D解法二：,因为,,所以（当且仅当时取“=”）,（当且仅当时取“=”）,所以当,时,的最小值为,故选D变式1 若,,满足的最小值是（ ）解析 (当且仅当时取等号).故选C.变式2 若是正数,则的最小值是（ ）解析（当且仅当时取等号）.故选C.题型93 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.例7.13 （1）,求证：（2）,求证：（3）,且,求证：解析 （1）因为,所以当且仅当时等号成立.（2）因为,所以,,三式相加得：,即（3）分析法.要证明,只需证,只需证：因为,,,,所以,所以,成立.所以.评注 本题（2）的证明是综合法,（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果,分析法是从结果出发,去分析命题成立的条件,一般情况下两种方法是可以通用的,对于比较复习的问题,也可以结合这两种方法使用变式1若,且,求证：分析 利用综合法,将“1”代换来证明.解析 因为,所以当且仅当,即时,等号成立.变式2 证明：若,则分析 利用分析法发现不等式左边含有,不等式右边不含,故使用基本不等式消去.解析.也可利用作差法证明：,所以.最有效训练题27（限时45分钟）1．函数（）在处取得最小值,则（ ）2．已知，则的最小值是（ ）3．若,,恒成立,则实数的取值范围是（ ）4．已知,且,则的最大值为（ ）5．若,,且则（ ）6．若,则点必在（ ）直线的左下方 直线的右上方直线的右上方 直线的左下方7．在“+”中的“ ”处分别填上一个自然数,使他们的和最小,其和的最小值为8．设，若，则的最大值为9．已知关于的不等式在上恒成立,则实数的最小值为10．（1）设，求函数的最小值为_______________（2）设,求函数的最小值.（3）已知,,且,求的最小值（4）若正数满足,则的最小值是11．已知为正数,求证：.12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车辆速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,当车流速度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.（1）当时,求函数的表达式；（2）当车密度为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/每小时）可以达到最大,并求出最大值（精确到1辆/小时）.最有效训练题271．C 解析 ,当9且仅当时,取“=”.2．D 解析,当且仅当时,取“=”,即的最小值为24.故选D.3．D 解析 因为,所以（当且仅当时取“=”,即）,此时的最小值为8,故,故选D.4．A 解析 ,且,（当且仅当时取“=”）,所以,因此,则的最大值为.故选A.5．B 解析 因为,即,即,解得或（舍）,故选B.6．A 解析 因为,所以,得,则点必在直线的左下方.故选A.7． 10,15,25 解析 设所填的数分别为,且,则由得,（当且仅当时取“=”）,此时,的最小值为25.8． 解析：9． 解析 由,得,即,其中,因为,所以,解得,即的最小值为.10．解析 （1），等号成立条件为，所以最小值为（2）令在上单调递减,故,所以的最小值为5.（3）因为,且,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.（4）由得,即,则,当且仅当时取“=”.11．解析 解法一：因为,所以,同理,两式相加,可得.解法二：,所以.解法三：因为,所以,所以欲证,即证,只要证,只要证,即证,只要证,只要证,即证.而显然成立,所以原不等式成立.12．解析 （1）由题意可知,当时,；当时,可设,再由已知得,解得,故函数的表达式为.（2）依题意并由（1）得.当时,为增函数,故当时,其最大值为1200；当时,,当且仅当,即时,等号成立.所以当时,在区间上取得最大值.综上,当时,在区间上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.PAGE13

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