1、响应面分析与优化设计

试验设计与优化方法，都未能给出直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但难以直观地判别优化区域．为此响应面分析法（也称响应曲面法）应运而生．响应面分析也是一种最优化方法，它是将体系的响应作为一个或多个因素的函数，运用图形技术将这种函数关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化条件．

显然，要构造这样的响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必须通过大量的测试验数据建立一个合适的数学模型（建模），然后再用此数学模型作图．那么我们来看看响应面分析的主要建模方法。

2、响应面建模数学方法

根据响应逼近函数形式的不同，响应面建模方法主要分为多项式回归法、神经网络法、Kriging函数法和径向基函数法等，各种方法都有一定的局限性，这儿就先不进行对比了，我们拿多项式回归逼近的方法来看看其数学基础。

3、响应面分析的数学基础

大家都学过泰勒分析，其思想就是用多项式来拟合任意函数，比方说自然指数函数，我们可以进行如下展开：

如果要求不是很严格，我们其实可以只用前几项来表达，如下图所示：

可见，对于指数函数而言，在[0 1]范围内，多项式取到三次的时候就和真值比较接近了，也就说说我们可以用更容易处理的多项式来拟合函数。

但是，泰勒展开有一个限制条件，那就是变量只有一个，对于有好几个变量的该如何处理呢？一个很显然的结论是：我们也可以采用和泰勒展开类似的策略，比如我们可以只考虑常数项和一次项：

其中 y为试验输出量，β为系数， x为输入变量，ε 为观测误差。分析发现，最大到一次项太粗略，往往和实际值差别较大。实践证明，最大到二次项一般情况下可以给出较为满意的答案，即

这种通过一系列多个变量、确定性的“试验”，来模拟真实极限状态曲面的方法称为响应面法，最早是由数学家Box和Wilson于1951年提出来的。为简单起见，我们将两个变量的乘积合并，用一个变量来代替：

写成更紧凑的形式：

多次观测后写成矩阵的形式为：

其中

最小方差为：

当最小方差最小时，显然拟合曲面和实际值最接近。当L 对β 的偏导数为零时，最小方差取极小值。

可得：

可以获得拟合的响应面为：

4、举个栗子

前面我们分析了响应面分析的数学基础，下面我们来看一个具体的例子，还是子弹发射，不过增加了难度，现在是移动射击。假设我们做了多次试验，分别记录了当地气压(airpressure)、空气温度(air_temp)、水平发射角(alpha)、竖直发射角(beta)、与目标之间的距离(d)，初始速度(v0)以及当地风速(wind)，输出量是子弹在目标附近的坐标。现在要建立这几个因素（变量）的响应面模型。

先用统计学分析一下，看看各个因素的影响。很明显，气压和温度的影响因子都比较小，因此不是主要影响因素,，后续可以忽略；发射角、初速度影响因子比较高，影响比较大；风速有负向影响，特别是y方向。

也可以通过矩阵图来看：

当然了，我们最关心的还是输入输出的响应面模型，也就是我们要建立一个模型，数学表达为：

下图是以水平发射角(alpha)、竖直发射角(beta)为横纵坐标，观察子弹落点(x,y)。当然我们可以观察任意变量对输出的影响。

图：水平发射角(alpha)、竖直发射角(beta)为横纵坐标，观察子弹落点x方向坐标

图：水平发射角(alpha)、竖直发射角(beta)为横纵坐标，观察子弹落点y方向坐标

5、响应面分析的目的

也就是说，如果试验太贵，仿真太耗时，我们还有一种选择，就是通过有限次的试验，再通过响应面分析来确定近似的模型，来指导后续的设计或者试验。