1)平移变换
从一个位置到另一个位置的变换可以用平移矩阵T表示,该矩阵通过向量t = ( tx, ty, tz)对实体进行平移操作。
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iqiAKrSJAAAnnRJNs4E909.png)
其实还有另外一种形式(以左手坐标系为基准):
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iqmAasjNAAAiEvtbFRw399.png)
第一种形式(以右手坐标系为基准的)进行变换时将T与需要变换的点或向量A(列向量)相乘,即TA。
第二种形式(以左手坐标系为基准)将需要变换的点或向量(行向量)与T相乘,即AT。
平移矩阵的逆矩阵为T-1( t ) =T( -t ),也就是对向量t进行了置负操作。
2)旋转变换
旋转矩阵Rx(Θ)、Ry(Θ)、Rz(Θ)分别表示将物体绕x,y,z轴进行旋转。
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iqmAGKfBAAAceLo1VvI916.png)
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iqmAMxFlAAAgYXTABss725.png)
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iqqAeQRrAAAiLbXyR_I565.png)
注意,旋转矩阵表示物体是绕着指定轴(轴的指向朝外面)按顺时针方向旋转的,但这个形式的旋转矩阵是以右手坐标系为基准的。
左手坐标系的为:
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EB/o4YBAFy5iquATYH3AAAtmOmuhzA416.png)
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iquAdnEyAAAfBFIyffg750.jpg)
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iquAAb1uAAAgWR4gUGs283.jpg)
旋转矩阵的推导可以看这里:http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996
任意轴旋转任意角度矩阵:
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iquAQpSJAABGuiFxq48845.jpg)
对于这个3x3矩阵来说,其对角元素之和是一个与坐标轴无关的常数,称其为迹(Trace):tr(R)=1+2cosΘ
矩阵R的逆矩阵就是其转置矩阵,还有其他获取其逆矩阵的方法,即将Θ取负(绕着同一坐标轴朝相反方向旋转)。旋转矩阵的行列式总是等于1.
3)缩放矩阵
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iquAHwoHAAAaZi4SGA0876.png)
sx, sy, sz分别表示沿着XYZ轴进行缩放的缩放比例。S矩阵的逆矩阵为S-1( s ) = S ( 1/sx, 1/sy,1/sz)。
如果对缩放矩阵s的一个或者三个分量置负,就会产生一个反射矩阵(镜像矩阵),如果其中两个缩放因子为-1,那么将旋转180度,当发现变换矩阵是反射矩阵时,需要进行特殊处理,例如,一个三角形的顶点序列以逆时针方向排列时,在经过反射矩阵变换后,对得到一个顺时针方向排列的三角形顶点序列,这将导致不正确的光照效果和背面裁减。判断给点矩阵是否为反射形式,需要计算该矩阵左上部3x3矩阵行列式的值,如果为负,那么该矩阵就为反射矩阵。
4)错切变换
错切矩阵有6种基本形式,分别表示为Hxy(s)、Hxz(s)、Hyx(s)、Hyz(s)、Hzx(s)、Hzy(s)。第一个下标表示由错切矩阵改变的坐标,第二个下标表示进行错切操作的坐标。
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iqyADwURAAAcID433Io635.png)
通过下标可以找到参数s所在的位置。如本例中x=0,z=2。
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iqyAIEycAABt6-6Pj-c796.png)
错切矩阵的逆矩阵可以通过取负来取得 ( Hij)-1( s ) = Hij( -s )
5) 刚体变换
刚体变换用于刚性物体的变换,只改变物体的方向和位置,不改变形状。可以将刚体矩阵X写成一个平移矩阵和一个旋转矩阵的级联:
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iq2AbObyAAAbxa0IWXo986.png)
X的逆矩阵可以这样求得:X-1= ( T ( t ) R )-1= R-1T( t )-1 = RTT( -t ).
6) 法线变换
注意,法线必须通过用变换几何图形的矩阵的逆矩阵的转置矩阵进行变换N = ( M-1)T
![](http://file.elecfans.com/web1/M00/8E/EC/o4YBAFy5iq2AK1zlAABwG6hETCA208.png)
实际应用中,如果变换矩阵是正交的(如旋转矩阵),就没必要计算它的逆矩阵,因为正交矩阵的逆矩阵就是转置矩阵,两个转置矩阵相互抵消,相乘的结果还是原来的旋转矩阵。此外,还有平移矩阵,由于平移不改变向量的方向,所以可以进行任意次数的平移而不对法线产生任何影响。另外,如果使用一个或多个一致性缩放矩阵进行变换,也不需要计算相应的逆矩阵,因为这种缩放只改变法线长度,不影响其方向。这种矩阵进行变换之后需要对法线进行归一化(规范化)。
原文标题:图形变换之基本矩阵变换
文章出处:【微信号:Imgtec,微信公众号:Imagination Tech】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。
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