即动能减去势能。系统的运动路径要求满足使得作用量最小的欧拉-拉格朗日方程

这里需要强调的是，在求偏导运算中，需要将拉格朗日量视为一个二元函数。此时，它的两个变量之间被视为是相互独立的——尽管物理上它们只要相差一个求导，即在求其中一个变量求导时，一般假设摁住另一个变量令其不再改变。为了强调这一点，再本节叙述中可以引入记号

以下标显式注明不变量。

注意到拉格朗日量中两个变量的不对称性，在拉格朗日力学发表的50年后，爱尔兰数学家哈密顿提出另一个现代被称为“哈密顿力学”的框架。哈密顿认为，力学系统可以用另一个被称为哈密顿量（Hamiltonian）的二元函数

表达。此时，它依赖的两个变量广义坐标 q 与广义动量 p，在物理意义上也相互独立，使得表达形式在数学上更为对称。在拉格朗日力学的基础上，哈密顿将广义动量定义为

而哈密顿量为

值得注意的是，此时等号坐标是 p 和 q 的函数，等号右边应当也保持一致。在实际推导时，应该将广义坐标的时间倒数连同拉格朗日量用新变量重新表达为

这一点在后面进行具体计算时尤为重要。现在考虑对哈密顿量求偏导，利用链式法则，

利用广义动量 p 的定义，不难看出，等号右边后两项可以互相抵消。于是有

类似地，可以求哈密顿量对广义坐标 q 的偏导数，有

再利用拉格朗日方程，最后一个等号可以继续化简为

两式结合，即得到哈密顿方程（组）

第二条等式中，等号左边是动量对时间的偏导，等号右边事实上定义了所谓的“广义力”。更值得一说的是，他们之间有相当对称的形式：某一变量随时间的演化，应由哈密顿量对另一变量的偏导决定，可以再一次印证前述提到变量 p 和 q 之间的对称性。

进一步，如果哈密顿量不显含时——即它对时间的依赖完全来自于两个变量对时间的依赖——时，可以证明，哈密顿量是系统的守恒量。同样是利用链式求导法则，

其中，第二个等号即用到了哈密顿方程（组）。

（张朝阳推导哈密顿方程（组））

利用哈密顿力学求天体运动方程

为了更好地理解哈密顿力学如何求解具体力学问题，不妨将其运用于考察中心力场，比如引力场中质点的运动。在前面的课程中，张朝阳曾演示过用拉格朗日力学来处理过这一问题。

如图，假设有一个质量为 m 的天体微扰一个质量为 M 的天体转动。广义坐标仍取为径向距离 r 和角度 θ，体系的动能和势能分别可以写为

由于引力是保守力，拉格朗日量可以写为

对应的广义动量可以写为

反过来，广义坐标对时间的导数可以用广义动量表达为

于是，按定义哈密顿量应当取为

注意这里有多个广义坐标和对应的广义动量，在最后一步，需要把所有变量改写为以广义动量表达的形式。此时，求径向距离 r 和对应动量 pr 的哈密顿方程（组），首先

此即广义动量的定义式，并不带来新的内容。而对 r 求偏导，则有

等号另一边

于是可以得到

等号左边是加速度项，等号右边第二项是向内的引力，而第一项可以改写为

不难看出它即是向外的向心力，与用牛顿定理推出来的径向方程一致。再求角坐标 θ 相关的哈密顿方程（组），对广义动量求导

同样得到的是定义式。对应的另一条方程是

此即角动量守恒。更进一步，代入定义式

即得到开普勒定律。可以看到，哈密顿力学体系可以很容易地回到牛顿力学的结果。

（张朝阳求解质点在中心力场中的运动方程）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周五，周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。返回搜狐，查看更多