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向量证明重心 向量证明重心三角形ABC中,重心为O,AD是BC边上的中线,用向量法证明AO=2OD (1).AB=12b,AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD,AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c,x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3,3x=1。(3).OD=2b+2c,AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。 2 设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2:1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF,求证AD、BE、CF交于一点O,且AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1 证明:用归一法 不妨设AD与BE交于点O,向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线,所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线,故设BO=xBE=(x/2)(a+b) 同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中,AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关,所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0:AD=BO:BE=2:3 故AO:OD=BO:OE=2:1 设AD与CF交于O',同理有AO’:O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上,因此O=O’ 因此有AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1 证毕! 4 设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)证明:三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足:X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\ 设:AB的.中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2,又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如图。设AB=a(向量),AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2. BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2. t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD. 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2:1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF,求证AD、BE、CF交于一点O,且AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1 证明:用归一法 不妨设AD与BE交于点O,向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线,所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线,故设BO=xBE=(x/2)(a+b) 同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中,AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关,所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0:AD=BO:BE=2:3 故AO:OD=BO:OE=2:1 设AD与CF交于O',同理有AO’:O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上,因此O=O’ 因此有AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1 证毕! 【向量证明重心】相关文章: 1.证明向量共面 2.向量空间证明 3.用向量法证明 4.向量证明正弦定理 5.用向量证明正弦定理 6.用向量证明线面平行 7.向量法证明正弦定理 8.用向量证明四点共面 |
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