延伸组和缩短组

如果向量组线性无关，那么把每个向量填上 m m m个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关

证明：设 α 1 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1​,⋯,αs​的一个延伸组为 α ~ 1 , ⋯   , α ~ s \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s} α~1​,⋯,α~s​，则从 k 1 α ~ 1 + ⋯ + k s a ~ s = 0 k_{1} \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}+\cdots+k_{s} \tilde{\boldsymbol{a}}_{s}=\mathbf{0} k1​α~1​+⋯+ks​a~s​=0 可得出 k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} k1​α1​+⋯+ks​αs​=0 若 α 1 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1​,⋯,αs​线性无关，则从上式得 k 1 = ⋯ = k s = 0 k_{1}=\dots=k_{s}=0 k1​=⋯=ks​=0 从而 α ~ 1 , ⋯   , α ~ s \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s} α~1​,⋯,α~s​也线性无关

推论：如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉 m m m个分量(去掉的分量的位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关 (这是上面命题的逆否命题)

一个总结：

如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关

如果向量组线性无关，那么把每个向量填上m个分量（所添的分量的位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关

如果向量线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量的位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关