把多个元素放在一起就构成了集合，如 \{ x_1, x_2, \dots, x_n\} 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的“关系”或者说“结构”，加上这层“关系”和“结构”之后，就构成了一个空间[1]。

如果想把集合中任意的两个元素建立“关系”，首先想到的可能就是去描述它们之间的“距离”。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点：

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。

给定一个域 F 和一个空间 V ，首先我们对空间中的元素定义两个二元运算（定义运算相当于给集合中的元素添加“关系”和“结构”）：

如果定义出来的两个二元运算满足以下八条性质[2]，那么这个空间称之为一个线性空间（或向量空间）：

定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。范数的定义应该满足以下四点：

范数可以理解为空间中一个元素到零元的距离。因此，我们很容易根据范数的定义诱导出距离的定义[3]，如 d(x, y) = ||x - y|| 。因此通常我们认为赋范空间也是一种度量空间。

值得注意的是，在范数的定义过程中，非退化性要求该空间内一定有一个零元，齐次性要求对乘法封闭，三角不等式要求对加法封闭。因此，范数必须定义在线性空间内[4]，一个赋范空间一定是线性的，称为线性赋范空间。

定义了内积的线性空间称为内积空间。内积的定义应该满足以下四点：

关于距离、范数和内积的总结如下图[5]

事实上，定义了内积以后也很容易诱导出范数的定义，如 ||x|| = \sqrt {\langle x, x \rangle} 。因此，通常我们认为内积空间也是一种赋范空间，同时也是一种度量空间。

定义了内积和范数，就可以定义线性空间中两个向量的夹角，即 angle(x, y) = \frac {\langle x, y \rangle} {||x|| \cdot ||y||} 。因此，在内积空间中，我们有了长度和角度的概念。

希尔伯特空间，即完备的内积空间。那么什么是完备性（completeness）呢？这里需要介绍一下收敛列和柯西列[6]。

收敛列：设 (X,d) 为度量空间，\{x_n\} 为 X 中的数列，若存在 x\in X 使得 \lim_{n\to \infty} d(x_n, x) = 0 ，则 \{x_n\} 在 X 中收敛，\{x_n\}称为收敛列， x 称为 \{x_n\} 的极限。

简而言之，如果一个度量空间中的数列存在极限，且这个极限也在这个空间内，那么这个数列就是一个收敛列。举例，如 X = (0, 1) ，那么数列 \{x_n | x_n = \frac 1 n \} 就不是一个空间 X 的收敛列，因为它的极限 0 不在空间 X 内。

柯西列：设 (X,d) 为度量空间，\{x_n\}为 X 中的数列，\forall \epsilon > 0, \exists N\ge 1, s.t. \forall m,n \ge N, d(x_m, x_n) < \epsilon，则称它为柯西列。

把一个数列从大到小排列，如果前一项减去后一项的差越来越小并最终趋近于零，那么这个数列就是一个柯西列。收敛列一定是一个柯西列，但是柯西列不一定是一个收敛列。如在 X = (0, 1) 空间中的数列 \{x_n | x_n = \frac 1 n \}，它是一个柯西列，但不是一个收敛列。

完备性：设 (X,d) 为度量空间，如果 X 中的任意柯西列都是收敛列，则 (X,d) 为完备度量空间。

因此，一个完备的度量空间一定是一个闭集。

巴拿赫空间，即完备的赋范空间。

有限维实内积空间即称为欧几里得空间，我们生活的空间可看成一个三维的欧几里得空间 R^3 ，中学数学中的平面直角坐标系可看作一个二维的欧几里得空间 R^2。

希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广，即不再局限于有限维和实数。