高数学习笔记之向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义 |
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0x00 概述 在机器学习的过程中,需要了解向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义。 0x01 向量的内积(点乘)1.1 定义概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: ![]() a和b的点积公式为: ![]() 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。 1.2 向量内积的性质代码语言:javascript复制''' 1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性) 2. a·b = b·a. (对称性) 3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性) 4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|). 5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立. '''1.3 向量内积的几何意义内积(点乘)的几何意义包括: 代码语言:javascript复制''' 1. 表征或计算两个向量之间的夹角 2. b向量在a向量方向上的投影 '''有公式: ![]() 推导过程如下,首先看一下向量组成: ![]() 定义向量c: ![]() 根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有: ![]() 根据关系c=a-b有: 即: a∙b=|a||b|cos(θ) 向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ: θ=arccos(a∙b|a||b|) 进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为: 代码语言:javascript复制''' a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 a∙b=0→ 正交,相互垂直 a∙b |
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