内积、标量积、点积、点乘

2024-07-09 15:17| 来源: 网络整理| 查看: 265

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在数学中，数量积（也称为内积、标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

几何学定义与例子

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维向量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3$ 。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^T$ ，

这里的bT指示矩阵b的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行向量）乘以一个3×1向量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\end{bmatrix}$ 。几何解释

A· B = | A| | B| cos(θ). | A| cos(θ)是 A到 B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ ,

这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若a和b都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 $\mathbb{R}^n$ ( $n \le 3$ )。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

$\left \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

点积可以用来计算合力和功。若b为单位向量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

注：这样引出内积概念更加自然

转载自：实用多元统计分析

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