sin ⁡ x ∼ x \sin x \sim x sinx∼x

tan ⁡ x ∼ x \tan x\sim x tanx∼x

arcsin ⁡ x ∼ x \arcsin x \sim x arcsinx∼x

arctan ⁡ x ∼ x \arctan x \sim x arctanx∼x

e x − 1 ∼ x e^x-1 \sim x ex−1∼x, a x − 1 ∼ x ln ⁡ a a^x-1 \sim x \ln a ax−1∼xlna

ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ x \ln (1+x) \sim x ln(1+x)∼x,   l o g a ( 1 + x ) ∼ x ln ⁡ a \displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}  loga​(1+x)∼lnax​

ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) ∼ x \displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x ln(x+1+x2 ​)∼x

( 1 + x ) α − 1 ∼ α x \displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x (1+x)α−1∼αx

1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 \displaystyle \displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 1−cosx∼21​x2

tan ⁡ x − x ∼ 1 3 x 3 \displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3 tanx−x∼31​x3

x − sin ⁡ x ∼ 1 6 x 3 \displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3 x−sinx∼61​x3

tan ⁡ x − sin ⁡ x ∼ 1 2 x 3 \displaystyle \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3 tanx−sinx∼21​x3

arcsin ⁡ x − x ∼ 1 6 x 3 \displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3 arcsinx−x∼61​x3

x − arctan ⁡ x ∼ 1 3 x 3 \displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3 x−arctanx∼31​x3

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=e x→∞lim​(1+x1​)x=e， 括号内的一项趋向 0 。

利用导数的定义：

lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

常见函数的导数

双曲函数 和 反双曲函数

可分离变量的微分方程 [ 形如 ： d y d x = f ( x ) ] [\mathbf{形如}： \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)] [形如：dxdy​=f(x)]

① 分离变量后，两端积分。

[② 根据定解条件确定常数]

齐次方程 [ 形如 ： d y d x = φ ( y x ) ] [\mathbf{形如}：\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})] [形如：dxdy​=φ(xy​)]，

看 x 、 y x、y x、y 次数的系数是否对称。

① 令 u = y x u = \dfrac{y}{x} u=xy​， 则 y = u x y = ux y=ux， d y d x = u + x d u d x \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} dxdy​=u+xdxdu​。

② 代入方程，分离变量 x x x 和 $u $后，两端积分。

③ 用 y x \dfrac{y}{x} xy​代替 u u u 。

[④ 根据定解条件确定常数]

一阶线性微分方程 [ 形如： d y d x + P ( x ) ⋅ y = Q ( x ) ] [\mathbf{形如：} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)] [形如：dxdy​+P(x)⋅y=Q(x)]

(1) 当 Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q(x)=0 时，方程为『齐次』。 （对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程 ）

​ 齐次线性方程的通解： y = C e − ∫ P ( x ) d x \displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} y=Ce−∫P(x)dx

(2) 当 Q ( x ) ≢ 0 Q(x)\not\equiv0 Q(x)≡0 时，方程为『非齐次』。 （非齐次线性方程）

​ 非齐次线性方程的通解： y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) ⋅ e ∫ P ( x ) d x d x + C ) \displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C) y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+C)

​ 展开式： y = C e − ∫ P ( x ) d x + e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q ( x ) ⋅ e ∫ P ( x ) d x d x \displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx

伯努利方程 [ 形如 ： d y d x + P ( x ) ⋅ y = Q ( x ) ⋅ y n ,   ( n ≠ 0 , 1 ) ] [\mathbf{形如}：\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)] [形如：dxdy​+P(x)⋅y=Q(x)⋅yn, (n=0,1)]

① 两端同除以 y n y^n yn

② 设 z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1−n，则 d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} dxdz​=(1−n)y−ndxdy​

​ 代入，得 1 1 − n ⋅ d z d x + P ( x ) z = Q ( x ) \dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x) 1−n1​⋅dxdz​+P(x)z=Q(x)

​ d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)

③先求 z z z，再求 y y y。

可降阶的高阶微分方程

(1) [ 形如 ： y ( n ) = f ( x ) ] [\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)] [形如：y(n)=f(x)]

​ 两端积分，得 y ( n − 1 ) = ∫ f ( x ) d x + C 1 \displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1 y(n−1)=∫f(x)dx+C1​

​ 一直积分到 得到通解 时。

(2) [ 形如 ： y ′ ′ = f ( x , y ′ ) ] [\mathbf{形如}：y''= f(x,y')] [形如：y′′=f(x,y′)]，没有 y

​ 设 p = y ′ p = y' p=y′，则 y ′ ′ = p ′ y''=p' y′′=p′，

​ 代入，得到 p ′ p' p′ 关于 p p p 和 x x x 的方程 p ′ = f ( x , p ) p'=f(x,p) p′=f(x,p)

(3) [ 形如 ： y ′ ′ = f ( y , y ′ ) ] [\mathbf{形如}：y''=f(y,y')] [形如：y′′=f(y,y′)]，没有 x

​ 设 p = y ′ p = y' p=y′，则 y ′ ′ = d p d x = d p   ⋅  d y d x   ⋅  d y = p d p d y \displaystyle y'' = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y} y′′=dxdp​=dx ⋅ dydp ⋅ dy​=pdydp​

​ 代入，得到 p d p d y = f ( y , p ) p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p) pdydp​=f(y,p)

​ 分离变量求解，之后把 p = y ′ p = y' p=y′ 代入，

​ [根据已知条件求出常数之一，继续分离变量求解。根据已知，求出第二个常数]

k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋯ + k n y n ≡ 0 , ( ∀ x ∈ I )   ( k 1 , k 2 , ⋯   , k n 不全为  0 ) k_1 y_1+k_2 y_2 + \cdots + k_n y_n \equiv 0, (\forall x \in I )\space(k_1,k_2,\cdots,k_n不全为\space0) k1​y1​+k2​y2​+⋯+kn​yn​≡0,(∀x∈I) (k1​,k2​,⋯,kn​不全为 0)

​ 若 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1​(x),y2​(x) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ y 1 ( x ) y 2 ( x ) ≢ \dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv y2​(x)y1​(x)​≡ 常数。

二阶

[ 形如： d 2 y d x 2 + P ( x ) d y d x + Q ( x ) y = f ( x ) ] (6-1) \displaystyle [\mathbf{形如：} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1} [形如：dx2d2y​+P(x)dxdy​+Q(x)y=f(x)](6-1)

① 齐次： f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f(x)≡0，设 ( 6 − 2 ) (6-2) (6−2) 是 ( 6 − 1 ) (6-1) (6−1) 对应的齐次方程。

② 非齐次： f ( x ) ≢ 0 f(x) \not\equiv 0 f(x)≡0

n 阶

[ 形如： y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n y = f ( x ) ] (6-n-1) \displaystyle [\mathbf{形如：} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1} [形如：y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(x)y′+an​y=f(x)](6-n-1)

① 齐次：

如果 函数 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋯   , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x) y1​(x),y2​(x),⋯,yn​(x) 是 线性无关 的特解，则函数方程 ( 6 − n − 1 ) (6-n-1) (6−n−1) 的通解为：

y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋯ + C n y n ( x ) y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x) y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+⋯+Cn​yn​(x)