台风是一种发生在热带或副热带海洋上的气旋性涡旋,常通过狂风、暴雨和风暴潮致灾[1]。台风灾害发生频率高、影响范围广、破坏强度大,是人类面临的最严重环境问题之一。沿海城市因其地理位置特殊,极易遭受台风灾害影响。一场台风往往伴随着强风、暴雨和高潮位事件的同时发生,强风、暴雨和高潮位分别从不同的方面给沿海城市带来严重的灾害,台风带来的风速、降雨和潮位均为台风灾害的致灾因子。现有的针对台风灾害的研究主要集中在单致灾因子或两致灾因子分析。如国内一些学者[2,3]对台风的极值风速进行研究,以确定台风多发区建筑结构的设计风速。任锦亮等[4]利用Copula函数建立了上海市台风降雨与黄浦江潮位的联合分布模型,分析了不同频率台风降雨和高潮位组合事件的联合概率。武占科等[5]和Dong等[6]运用Gumbel Copula函数构建了台风条件下风速和雨强联合概率分布函数模型。王灶平等[7]基于超越概率理论,选取最优Copula函数建立了潮位和风速的联合分布函数。以上研究均是基于单变量或双变量的台风灾害分析,鲜有全面考虑风速、降雨和潮位开展台风灾害多维致灾因子联合分布的研究。但单一的致灾因子分析不足以综合反应台风灾害影响,本文综合风速、降雨和潮位多元台风灾害致灾因子,通过构建多元致灾因子联合分布,探究多元致灾因子间的相关特征,提出全面评估台风灾害影响的研究思路。

Copula函数能够有效描述水文特征变量间的相依性,可构造任意边缘分布的联合分布,并且可以较好地刻画变量间的相关结构。随着其理论和方法的逐步完善,Copula函数被越来越多的应用到多变量事件分析中[8,9,10]。在利用Copula 函数进行多变量事件分析的研究中,往往涉及重现期的概念。传统的多变量重现期计算可利用Copula 函数得到联合概率,再进行联合重现期计算。近年来,国外学者[11,12,13,14]考虑到重现期不能反映工程实施期内危险事件的发生概率,又提出了危险事件的失效概率（Failure probability）概念,为工程设计提供新的依据。

本文以沿海城市海口为研究区域,运用Copula函数构建了台风灾害多元致灾因子联合概率分布,分析了台风灾害事件的三维联合重现期和失效概率,以期为沿海城市台风灾害管理提供科学依据。

Copula函数在构造联合分布的过程中不要求变量具有相同的边缘分布,近年来被逐渐应用于多变量分析中。设变量X1, X2,…, Xn的边缘分布为F1, F2,…, Fn,联合分布为F(x1, x2,…, xn)。按照Sklar理论,存在一个n维Copula函数C,使得对任意 x∈Rn有

F(x1,x2,⋯,xn)=C[F1(x1),F2(x2),⋯,Fn(xn)](1)

本文采用常用的二维Gaussian Copula,Student’s t-Copula,Gumbel Copula,Clayton Copula和Frank Copula构建风速-降雨、风速-潮位和降雨-潮位两变量间的联合分布,采用三维Gaussian Copula,Student’s t-Copula和Gumbel Copula函数构建风速-降雨-潮位联合分布。

采用最大似然函数估计法对上述Copula函数进行参数估计,运用K-S检验法进行拟合优度检验,运用AIC准则和离差平方和准则(OLS)法进行拟合优度评价,从而比选出各变量间最优Copula函数。

设风速变量T、降雨变量H和潮水位变量Z的联合分布函数为 F(t,h,z),边缘分布函数为 FT(t)、 FH(h)和 FZ(z)。风速T、降雨H和潮水位Z有一个变量超过某一量级的概率称为联合风险率,记为 P⋃(t,h,z),对应的联合重现期记为 T⋃。

P⋃(t,h,z)=P[(T>t)⋃H>h]⋃(Z>z)=1-F(t,h,z)(2)

T⋃=Nn01-F(t,h,z)(3)

式中,N为观测样本时间长度,n0为观测时段内超越某一样本出现的次数。

失效概率（Failure probability）是指在设计期内潜在的灾害事件至少发生一次的概率[11,12]。对于一般情景,失效概率（PT）可以表述为[11,12]：

pT=1-P(X1∉S1,⋯,XT∉ST)(4)

式中, X1,⋯,XT为设计期T年内发生的台风灾害情景,如对于风速-降雨-潮位组合事件, X1表示第一年内发生的风速、降雨以及潮位值; S1,⋯,ST为一系列危险的台风灾害情景,如50 a一遇风速、降雨及潮位联合事件。考虑设计期内 Xi是独立的,则 pT可以表示为[11,12]：

pT=1-∏i=1TP(X∉S)=1-(1-p)T(5)

联合重现期对应的失效概率为[11,12]：

pT⋃=1-CF1(x1),⋯,Fd(xd)T(6)

式中, pT⋃为联合重现期对应的失效概率, x1,⋯,xd为台风灾害对应的d种致灾因子。

本文研究区域为海口市主城区（图1）,位于海口市北部,面积约150 km2,地势较为平缓,西南较高、东北较低。海口市北部临海,属太平洋台风区,是台风频繁侵袭的地区之一。主城区北部、东部临海临江区域,由于地势平缓,受台风侵袭时,台风带来的狂风对建筑物、树木及行人安全极为不利,高潮位极易造成外江水位倒灌,同时台风伴随的强降雨天气因潮位顶托也易导致严重的洪涝灾害。

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图1   研究区位置

Fig.1   Location of study area

本研究选取台风带来的日降雨量、日最高潮位及当日最大台风风速进行分析。降雨和潮位资料选取海口市主城区1974~2012年间降雨测站日降雨资料和潮位测站日最高潮位资料,最大风速资料来源于中国气象局上海台风研究所热带气旋最佳路径数据集资料。其中对海口市主城区有影响的台风参考文献[15,16]将其定义为距离海口测站500 km以内的台风。

首先,运用Lognorm分布、Gamma分布、Weibull分布、Generalized Extreme Value（GEV）分布、Pearson-III分布分别构建风速、降雨、潮位的边缘分布函数,并从中选择拟合效果最好的分布函数。通过K-S检验和AIC、OLS值比选,Pearson-III分布、Gamma分布和GEV分布分别为三者的最优边缘分布函数。

然后,运用常用的二维Copula函数构建风速-降雨,风速-潮位及降雨-潮位间的二维联合概率分布模型。对于风速-潮位, Gumbel Copula函数具有最小的AIC值和OLS值,所以Gumbel Copula函数为风速-潮位的最优联合概率分布模型;同理,对于风速-降雨变量和降雨-潮位变量,Frank Copula为相应的最优联合概率分布模型。图2~4分别为风速-降雨,风速-潮位,降雨-潮位二维联合概率分布图,由图可以得出任意变量间的不同组合的联合概率分布值。

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图2   风速降雨二维联合概率分布

Fig.2   Joint probability distribution of wind speed and rainfall

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图3   风速潮位二维联合概率分布

Fig.3   Joint probability distribution of wind speed and storm tide

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图4   降雨潮位二维联合概率分布

Fig.4   Joint probability distribution of rainfall and storm tide

最后,运用三维Gaussian Copula,Student’s t-Copula和Gumbel Copula函数分别构建风速-降雨-潮位三维联合概率分布模型,并计算各Copula函数的拟合优度评价指标值（表1）。由表1可知,上述Copula函数均通过K-S检验,且Gumbel Copula函数具有最小的AIC值,因此Gumbel Copula函数建立的三维联合分布模型对于描述风速-降雨-潮位的拟合效果最好。图5为Gumbel Copula分布函数和经验分布函数的P-P图,二者R2大于0.95,表明上述Copula函数拟合效果较好。图6为风速-降雨-潮位联合分布四维切片图。从图中可以查出给定不同变量组合的联合概率分布值。随着风速、降雨和潮位值的增加,三者的联合概率分布值增大。

表1   三变量联合分布函数拟合优度检验

Table 1   Goodness of fit of the trivariate distributions based on Copulas

注：加粗的分布为最终选择的分布函数。

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图5   风速-降雨-潮位三维联合分布P-P图

Fig.5   P-P plot of the joint distribution of wind speed, rainfall and storm tide

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图6   风速-降雨-潮位联合分布四维轴切图

Fig.6   Trivariate joint probability distribution of wind speed, rainfall and storm tide

根据1.1的公式,计算台风灾害事件的单变量重现期、二维联合重现期及三维联合重现期（表2）。由表2可知,单致灾因子重现期大于两致灾因子联合重现期,且二者都大于三变量联合重现期。如当单变量重现期为100 a时,风速-降雨-潮位组合事件的联合重现期仅为16.7 a,而当三者中任一变量发生超阈值事件时都有可能引起台风灾害,仅以单变量作为设计依据会低估具有一定严重程度的灾害发生频次。

表2   台风灾害事件单变量重现期、二维联合重现期及三维联合重现期

Table 2   Univariate, bivariate and trivariate return period (RP) of typhoon disaster events

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与单变量重现期和两变量联合重现期相比,三变量联合重现期的计算结果更加贴近实际情况,这一结论和目前已有的研究相一致[8~10,17]。结合历史台风资料,对影响研究区域的重大台风灾害事件实际发生的重现期与三维致灾因子联合分布模型计算结果进行比较分析。2014年7月18日威马逊台风侵袭海口,台风带来的当日最大风速为60 m/s (中国气象局热带气旋资料中心),日降雨量为225.3 mm (海口市大致坡站),日最高潮位3.83 m (海口站),威马逊台风为41 a来影响海口最严重的台风[18,19,20]。根据本文构建的风速、降雨和潮位的边缘分布、二维Copula分布以及三维Copula联合分布模型,得到风速、降雨和潮位对应的单变量重现期分别为498.7 a、61.7 a和92.6 a;基于风速-降雨、风速-潮位、降雨-潮位的二维联合重现期分别为54.9 a、79.4 a和45.1 a;基于风速-降雨-潮位三维联合重现期为39.5 a,相对于单变量重现期和二维联合重现期,三维联合重现期更加接近实际情况。实际工程设计中要充分考虑各种台风致灾因子间的关联特性,漏掉任一变量对台风灾害风险管理都是不利的。

图7为台风灾害单变量、两变量联合事件、三变量联合事件的失效概率随设计年限的变化图。由图可知：① 随着重现期水平的增加,单变量、两变量及三变量台风灾害事件的失效概率逐渐减小。② 随着设计年限的增加,失效概率逐渐增加,如对于100 a一遇的单变量事件,10 a内该事件的失效概率为0.095,50 a内该事件的失效概率增加为0.395,由此可见,仅以重现期作为设计依据未考虑工程的设计年限,不能准确反映设计期内灾害事件发生的概率。③ 单变量事件失效概率