首先，数学的七个能力：

①整理：通过整理 得出更多的信息。

例1：元素周期表的发现 例2：和差化积式子 缩小范围 例3：通过乘法整理式子 提高自由度 （速度*时间 → 面积，很多时候 把x和y 画成以图像，从二维转到三维 能得到不同的信息）

②顺序概念：选择由大到小，证明由小到大。

例： “风一吹，木桶店就会赚钱” ①风吹起沙尘 → ②眼睛变瞎 →③购买乐器 → ④乐器制作需要猫皮 → ⑤猫少了 老鼠数量增加→ ⑥老鼠咬坏木桶 → ⑦木桶需求量增加，木桶店赚钱。 这个例子全都是从大范围→小范围，只是可能发生，不是必定发生，因此不构成证明过程。

③转换：也就是常说的“换句话说”，等价变换概念。

例1：芥川龙之介写给妻子的信，没有一句“我爱你”，却每一句都在表达“我爱你”。这么看来 芥川龙之介也是一位数学大师，比如信中：“渴望与你见面”、“即使煎熬，我们仍感到幸福”、“其中一个最不幸的状况 就是你不再来找我”、“轻抚你的眼皮 愿你有一场好梦”。 例2：A队胜利 等价于 A队赢得1分以上。 例3：“三年工作经验+笔试通过+面试通过 → 被录用 ” 等价于 “被录用 → 三年工作经验+笔试通过+面试通过” 例4：函数，“函”是盒子的意思，比如传进去以数为2、3、4，出来的数为4、6、8

④抽象化：归纳出共同的性质、模型化，从而推敲出本质

例1：一串数字 2、4、6、8、10 … 共同的性质是偶数 例2：一串数字 1、4、27、256、3125… 共同的性质是 nn 例3：一串质数 2、3、5、7… 有什么共同的性质呢？ → 黎曼猜想 例4：马 和 海豚 的抽象化，都是 哺乳类。鸽子和乌鸦的抽象化 都是鸟类。 例5：2012年十大畅销商品的抽象化，是“创新”与“积极” 例6：模型化，建立模型 为了更好的抽象 例7：图论→柯尼斯堡问题→抽象化以后→奇数条道路 无法一次走完 例8：员工排班，利用图论，可以

⑤具体化：演绎、归纳法。会说话。

例1：提出具体的实例，有助于理解问题。善于运用比喻 例2：善于运用比喻，可以帮助联想。较近的例子→抽象化后的概念→较远的例子。 每天存10块钱，十年后就能出国旅游（较近的例子）→ 积少成多（抽象） → 钟乳洞（较远的例子） 例3： 演绎法 是“从全体理论推导出适用个别的情况”：樱花每年会凋零 → 今年也会凋零（演绎） 归纳法 是“从个别推导出全体适用的理论”：去年、前年、大前年的樱花凋零 → 樱花每年会凋零（归纳） 演绎法缺点：有局限性 归纳法缺点：“这样发展的可能性很高”

⑥逆向思维：多元视角、避开麻烦、反证法

例1：逆、否、对偶命题 例2：反证法 ①先假设成立 ②却能导出矛盾的结果。 比如推理小说、刑侦剧的犯人直接证明我不是犯人 很困难，却用反证法：假设我在场，但我又能提供不在场证明，因此证明我不是犯人。 例3：阿基米德与王冠：证明王冠是纯金的很困难，证明王冠不是纯金的 则很容易 逆向思维局限性：很多事情不是只有正反两面的，比如 “”不喜欢“” 不代表“讨厌”。还存在“二律背反”：身为加害者的他 也是受害者、因为喜欢所以讨厌。 逆向思维很重要，但也要思考别的可能。

⑦对数学的美感：合理性、对称性、一致性

数学的美是逻辑的美，而万sir说过 喜欢=82.5%的熟悉 + 12.5%的惊喜，音乐也是一种逻辑的美。文学、电影、绘画、雕刻 所有艺术的逻辑和数学息息相关，很多顶尖的数学家 同时也是艺术家

全概率公式：

P ( B ) = ∑ i n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\sum^n_iP(A_i)P(B|A_i) P(B)=i∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​) 就是 先求出 A 1 A_1 A1​所占的面积，再求出 A 1 A_1 A1​发生的概率，即 P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P(A_1)P(B|A_1) P(A1​)P(B∣A1​) 再求出 A 2 A_2 A2​所占的面积，再求出 A 2 A_2 A2​发生的概率，即 P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) P(A_2)P(B|A_2) P(A2​)P(B∣A2​) …以此类推 然后加在一起，得到了全部的概率

贝叶斯公式：

P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)} P(Ak​∣B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Ak​)P(B∣Ak​)​

也就相当于： 乘法公式 全概率公式 = P ( A k B ) P ( B ) = D 部分发生的概率 A B C D 发生的概率 \frac{乘法公式}{全概率公式}=\frac{P(A_kB)}{P(B)}=\frac{D部分发生的概率}{ABCD发生的概率} 全概率公式乘法公式​=P(B)P(Ak​B)​=ABCD发生的概率D部分发生的概率​

也就表示：求出已经发生的 一、二、三、四 事件中，发生事件四的概率。

PS：已知 P(AB) = P(A) P(A|B)

定义： A , B 相互独立： P ( A ∣ B ) = P ( A ) A,B相互独立：P(A|B)=P(A) A,B相互独立：P(A∣B)=P(A)

定理1.4： 若 P ( A ) > 0 ， P ( B ) > 0 ， A , B 独立 ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 若P(A)>0，P(B)>0，A,B独立 ⇔ P(AB)=P(A)P(B) 若P(A)>0，P(B)>0，A,B独立⇔P(AB)=P(A)P(B) 也就是：若 P ( A ) > 0 ， P ( B ) > 0 ， P ( A ∣ B ) = P ( A ) ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 也就是： 若P(A)>0，P(B)>0，P(A|B)=P(A) ⇔ P(AB)=P(A)P(B) 也就是：若P(A)>0，P(B)>0，P(A∣B)=P(A)⇔P(AB)=P(A)P(B)

也就是 P(A|B)=P(A) 等价于 P(AB)=P(A)(B)

证明充分性： P ( A B ) = P ( A ) ( B ) → → → 证明 → → → A , B 独立，即 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(AB)=P(A)(B) →→→证明→→→ A,B独立，即P(A|B)=P(A) P(AB)=P(A)(B)→→→证明→→→A,B独立，即P(A∣B)=P(A)

证明充分性——过程： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ① P(AB)=P(A)P(B) ① P(AB)=P(A)P(B)① P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) ② P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}② P(A∣B)=P(B)P(AB)​② ①②式结合： P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B ) = P ( A ) ①②式结合：P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A) ①②式结合：P(A∣B)=P(B)P(AB)​=P(B)P(A)P(B)​=P(A)

证明必要性： A , B 独立，即 P ( A ∣ B ) = P ( A ) → → → 证明 → → → P ( A B ) = P ( A ) ( B ) A,B独立，即P(A|B)=P(A) →→→证明→→→ P(AB)=P(A)(B) A,B独立，即P(A∣B)=P(A)→→→证明→→→P(AB)=P(A)(B)

用P(A|B)=P(A)这个条件，推导出 P(AB)=P(A)(B)这个结果

证明必要性过程： ① P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) ①P(AB)=P(A|B)P(B) ①P(AB)=P(A∣B)P(B) ② P ( A ∣ B ) = P ( A ) ②P(A|B)=P(A) ②P(A∣B)=P(A) ①②式结合： P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) = P ( A ) P ( B ) ①②式结合：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B) ①②式结合：P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(A)P(B)

补充：当P(A)=0，P(B)=0时，式子也成立， 证： 设 P ( A ) = 0 ，则 A B ∈ A ， 0 ≤ P ( A B ) ≤ P ( A ) = 0 ，则 P ( A B ) = 0 ，而 P ( A ) P ( B ) = 0 ∗ P ( B ) 也等于 0 ，因此 P ( A B ) = P ( A ) ∗ P ( B ) = 0 设P(A)=0，则AB∈A，0≤P(AB)≤P(A)=0，则P(AB)=0，而P(A)P(B)=0*P(B)也等于0，因此P(AB)=P(A)*P(B)=0 设P(A)=0，则AB∈A，0≤P(AB)≤P(A)=0，则P(AB)=0，而P(A)P(B)=0∗P(B)也等于0，因此P(AB)=P(A)∗P(B)=0

这个定理很好用，因此 A,B独立 = P(A)P(B)

因此推导出定义 定义： A , B 相互独立： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) A,B相互独立：P(AB)=P(A)P(B) A,B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)

伯努利实验：结果只有两种的独立实验

n重伯努利实验：做n次 独立实验，结果只有两种。

定理： 这个结论叫：二项概率公式

二项式 ： （a+b）n 展开 杨辉三角用伯努利表示：