数字信号处理实验二：时域采样与频域采样

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数字信号处理实验二：时域采样与频域采样

2024-07-11 08:33| 来源: 网络整理| 查看: 265

实验内容实验目的

时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

实验原理与方法

时域采样定理的要点是： (1)对模拟信号 $x_{a}(t)$ 以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱 $\hat{X}(j\Omega )$ 是原模拟信号频谱 $X_{a}(j\Omega )$ 以采样角频率 $\Omega_{s}(\Omega_{s} = 2 \pi/T )$ 为周期进行周期延拓。公式为：

$\hat{X}_{a}(j\Omega )=FT[\hat{x}(t)]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty }X_{a}(j\Omega -jn\Omega _{s})$

采样频率 $\Omega _{s}$ 必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。理想采样信号 $\hat{x}_{a}(t)$ 和模拟信号 $x_{a}(t)$ 之间的关系为：

$\hat{x}_{a}(t)=x_{a}\sum_{n=-\infty }^{\infty}\delta (t-nT)$

对上式进行傅里叶变换，得到：

$\hat{X}_{a}(j\Omega )=\int_{-\infty}^{\infty}[x_{a}(t)\sum_{n=\infty}^{\infty}\delta(t-nT)]e^{-j\Omega t}dt$

$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_{a}(t)\delta(t-nT)e^{-j\Omega}dt$

在上式的积分号内只有当t=nT时，才有非零值，因此：

$\hat{X}_{a}(j\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{a}(nT)e^{-j\Omega nT}$

上式中，在数值上 $x_{a}(nT)=x(n)$ ，再将 $\omega=\Omega T$ 代入，得到：

$\hat{X}_{a}(j\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$

上式的右边就是序列的傅立叶变换 $X(e^{j\omega})$ ，即

$\hat{X}_{a}(j\Omega)=X(e^{j\omega}) \mid _{\omega=\Omega T}$

上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量 $\omega$ 用 $\Omega$ 代替即可。频域采样定理的要点是：对信号x(n)的频谱函数 $X(e^{j\omega})$ 在[0，2π]上等间隔采样N点，得到

$X_{N}(k)=X(e^{j\omega})\mid _{\omega=\frac{2\pi}{N}} k=0,1,2,...,N-1$ 则N点 $IDFT[X_{N}(k)]$ 得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，

公式为：

$X_{N}(n)=IDFT[X_{N}(k))]_{N} = [\sum_{i=\infty}^{\infty}x(n+iN)]R_{N}(n)$

由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则 N 点 $IDFT[X_{N}(k)]$ ]得到的序列 $x_{N}(n)$ 就是原序列x(n)，即 $X_{n}(n)=x(n)$ 。如果 N>M， $x_{N}(n)$ 比原序列尾部多N-M个零点；如果 N

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