设 y = a x + c + b + ϵ y=\frac{a}{x+c}+b+\epsilon y=x+ca​+b+ϵ,则 y − a x + c − b = ϵ y-\frac{a}{x+c}-b=\epsilon y−x+ca​−b=ϵ。我们希望 ϵ \epsilon ϵ的值尽可能接近0，则正常情况下，我们转化为求如下表达式的最小值： Q = ∑ i = 1 n ( y i − a x i + c − b ) 2 = ∑ i = 1 n ϵ i 2 Q=\sum_{i=1}^n (y_i-\frac{a}{x_i+c}-b) ^{2}=\sum_{i=1}^n \epsilon_i^2 Q=∑i=1n​(yi​−xi​+ca​−b)2=∑i=1n​ϵi2​。此时我们就将 Q Q Q看作是关于 a a a和 b b b的函数，即为 Q ( a , b ) Q(a,b) Q(a,b)，然后对它求偏导，求得 a a a和 b b b的值。

但由于有分式的存在，在求偏导时，除了数值计算，我想不到其他好的解法了，所以我索性换了一种评价方式，我们对式子变形得到： ( y − b ) ( x + c ) − a = ϵ ( x + c ) (y-b)(x+c)-a=\epsilon(x+c) (y−b)(x+c)−a=ϵ(x+c)，这个式子表明，如果，在 x + c > 0 x+c>0 x+c>0的情况下， x x x越大，要想使得 ( y − b ) ( x + c ) − a (y-b)(x+c)-a (y−b)(x+c)−a接近0，则 ϵ \epsilon ϵ必须越小。但是，在 x + c ≈ 0 x+c\approx0 x+c≈0的情况下，误差就会十分的明显，所以，我们应该想办法避免这种情况的发生。（但事实是我不会避免，求大神帮忙）

我们转化为求如下表达式的最小值： Q = ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] 2 Q=\sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a]^{2} Q=∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a]2。对 Q Q Q求偏导得到： ∂ Q ∂ a = − 2 ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] \frac{\partial {Q}}{\partial {a}}=-2\sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a] ∂a∂Q​=−2∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a] ∂ Q ∂ b = − 2 ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] ( x i + c ) \frac{\partial {Q}}{\partial {b}}=-2\sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a](x_i+c) ∂b∂Q​=−2∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a](xi​+c) ∂ Q ∂ c = 2 ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] ( y i − b ) \frac{\partial {Q}}{\partial {c}}=2\sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a](y_i-b) ∂c∂Q​=2∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a](yi​−b) 令 ∂ Q ∂ a = ∂ Q ∂ b = ∂ Q ∂ c = 0 \frac{\partial {Q}}{\partial {a}}=\frac{\partial {Q}}{\partial {b}}=\frac{\partial {Q}}{\partial {c}}=0 ∂a∂Q​=∂b∂Q​=∂c∂Q​=0得： ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] = 0 … … （ 1 ） \sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a]=0 ……（1） ∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a]=0……（1） ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] ( x i + c ) = 0 … … （ 2 ） \sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a](x_i+c)=0……（2） ∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a](xi​+c)=0……（2） ∑ i = 1 n [ ( y i − b ) ( x i + c ) − a ] ( y i − b ) = 0 … … （ 3 ） \sum_{i=1}^n [(y_i-b)(x_i+c)-a](y_i-b)=0……（3） ∑i=1n​[(yi​−b)(xi​+c)−a](yi​−b)=0……（3）

我们将（1）代入（2）（3）化简，令 s u m x sumx sumx= ∑ i = 1 n x \sum_{i=1}^n x ∑i=1n​x, s u m y sumy sumy= ∑ i = 1 n y \sum_{i=1}^n y ∑i=1n​y 展开得： ∑ i = 1 n x i y i n + s u m y n c − s u m x n b − b c = a … … （ 4 ） \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{n}+\frac{sumy}{n}c-\frac{sumx}{n}b-bc=a……（4） n∑i=1n​xi​yi​​+nsumy​c−nsumx​b−bc=a……（4） ∑ i = 1 n x i 2 y i s u m x + ∑ i = 1 n x i y i s u m x c − ∑ i = 1 n x i 2 s u m x b − b c = a … … （ 5 ） \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i}{sumx}+\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumx}c-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{sumx}b-bc=a……（5） sumx∑i=1n​xi2​yi​​+sumx∑i=1n​xi​yi​​c−sumx∑i=1n​xi2​​b−bc=a……（5） ∑ i = 1 n x i y i s u m y + ∑ i = 1 n y i 2 s u m y c − ∑ i = 1 n x i y i s u m y b − b c = a … … （ 6 ） \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy}+\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{sumy}c-\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy}b-bc=a……（6） sumy∑i=1n​xi​yi​​+sumy∑i=1n​yi2​​c−sumy∑i=1n​xi​yi​​b−bc=a……（6） 令 k = a + b c k=a+bc k=a+bc,则我们可以得到： s u m y n c − s u m x n b − k = − ∑ i = 1 n x i y i n … … （ 7 ） \frac{sumy}{n}c-\frac{sumx}{n}b-k=-\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{n}……（7） nsumy​c−nsumx​b−k=−n∑i=1n​xi​yi​​……（7） ∑ i = 1 n x i y i s u m x c − ∑ i = 1 n x i 2 s u m x b − k = − ∑ i = 1 n x i 2 y i s u m x … … （ 8 ） \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumx}c-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{sumx}b-k=-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i}{sumx}……（8） sumx∑i=1n​xi​yi​​c−sumx∑i=1n​xi2​​b−k=−sumx∑i=1n​xi2​yi​​……（8） ∑ i = 1 n y i 2 s u m y c − ∑ i = 1 n x i y i s u m y b − k = − ∑ i = 1 n x i y i s u m y … … （ 9 ） \frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{sumy}c-\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy}b-k=-\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy}……（9） sumy∑i=1n​yi2​​c−sumy∑i=1n​xi​yi​​b−k=−sumy∑i=1n​xi​yi​​……（9） 这样我们就可以通过matlab计算出来 b b b、 c c c、 k k k的值了。 令 A = [ s u m y n − s u m x n − 1 ∑ i = 1 n x i y i s u m x − ∑ i = 1 n x i 2 s u m x − 1 ∑ i = 1 n y i 2 s u m y − ∑ i = 1 n x i y i s u m y − 1 ] A=\left[ \begin{matrix} \frac{sumy}{n} & -\frac{sumx}{n} & -1\\ \frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumx} & -\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{sumx} &-1\\ \frac{\sum_{i=1}^n y_i^2}{sumy} & -\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy} & -1\\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎡​nsumy​sumx∑i=1n​xi​yi​​sumy∑i=1n​yi2​​​−nsumx​−sumx∑i=1n​xi2​​−sumy∑i=1n​xi​yi​​​−1−1−1​⎦⎥⎤​ B = [ − ∑ i = 1 n x i y i n − ∑ i = 1 n x i 2 y i s u m x − ∑ i = 1 n x i y i s u m y ] B=\left[ \begin{matrix} -\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{n} \\ -\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2y_i}{sumx}\\ -\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{sumy}\\ \end{matrix} \right] B=⎣⎢⎡​−n∑i=1n​xi​yi​​−sumx∑i=1n​xi2​yi​​−sumy∑i=1n​xi​yi​​​⎦⎥⎤​ X = [ c b k ] X=\left[ \begin{matrix} c\\ b\\ k\\ \end{matrix} \right] X=⎣⎡​cbk​⎦⎤​ 所以，式子改写成： A X = B AX=B AX=B 所以，解得 X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B 然后，我们就可以求出a的值了： a = k − b c a=k-bc a=k−bc