首先必须明白是什么样的反函数。

我们一般设一个原来的函数y=f（x）。

那么反函数就设为y=f^-1（x），这两个图像关于y=x这条直线对称。

但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。

必须是写成x=f^-1（y）形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。

我们知道毕冲，在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像，那么对于函数上同一个点（x0，y0）点处的切线，当然就是同一条切线。

在原函数y=f（x）中，我们求的导数，从几何意义上说，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。

而反函数x=f^-1（y）中，我们求的导数，从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。

而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点（x0，y0）处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。

所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。

扩展资料：

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）手扰歼的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1