此时， \forall x\in D ， f^{-1}(f(x))=x ，反之， \forall y\in f(D) ，记 y=f(x),x\in D ，则 f(f^{-1}(y))= f(f^{-1}(f(x)))=f(x)=y .

于是我们可以给出反函数的定义：

注：此时， \forall y\in f(D) ，记 y=f(x),x\in D ，则也有 f(f^{-1}(y))=f(f^{-1}(f(x)))=f(x)=y ，因此 f 也是 f^{-1} 的反函数.

Q_{1}: 反函数如果存在，唯一吗？

Q_{2}: 反函数存在的充要条件是什么呢？

注：由于严格单调函数一定是单射，所以严格单调函数一定存在反函数，反之，如果函数 f 存在反函数，但它不一定是严格单调函数，比如： f\left( x\right) =\begin{cases}x+1,x\in \left( -1,0\right) \\ x-1,x\in \left[ 0,1\right) \end{cases} ，易知 f 是 (-1,1) 上的单射，从而 f 存在反函数，但 f 在 (-1,1) 上不单调，但如果限制 f 是区间 I 上的连续函数，那么有如下结论：

证明：充分性是显然的，下面我们证明必要性：假设 f 在区间 I 上不严格单调，结合 f 存在反函数 \Leftrightarrow f 是单射可知， \exists x_{1}f(x_{1})>f(x_{2})f(x_{1})f(x_{3}) ，对 \forall c\in (\max\left\{ f(x_{1}),f(x_{3}) \right\},f(x_{2})) ，由连续函数的介值性知\exists\xi_{1}\in(x_{1},x_{2}),\xi_{2}\in(x_{2},x_{3}) 使得 f(\xi_{1})=f(\xi_{2})=c ，这与 f 是单射矛盾，所以 f 一定在区间 I 上严格单调.

证明：不妨设 f 在 D 上严格递增，由上面的讨论可知其反函数一定存在，下面只证 f^{-1} 在 f(D) 上严格递增. \forall y_{1}f(x_{0}^{+})> f(x_{0}) ，对 \forall x'>x_{0} ，一定有 f(x')\geq f(x_{0}^{+}) ，即 f(x_{0})x_{0}) ，这说明不存在 x\in(x_{0},x') 使得 f(x)\in(f(x_{0}),f(x_{0}^{+})) ，这与 f(I) 是区间矛盾，所以 f 一定在 I 上连续.

注：实际上在必要性的证明中并未利用到 f 的单调性，因此有结论：区间上的连续函数的值域一定是区间.

证明：不妨设 f 在 I 上严格递增，由于 f\in C(I) ，所以 f(I) 是区间，由前面的讨论我们知 f 一定存在反函数 f^{-1}:f(I)\longrightarrow I ，且 f^{-1} 在 f(I) 上严格递增，由上一条定理知 f^{-1} 一定在 f(I) 上连续.

证明：因为 \varphi 在 y_{0} 的某邻域内连续且严格单调，故 f=\varphi^{-1} 在 x_{0} 的某邻域内连续且严格单调，记 \Delta x=\varphi(y_{0}+\Delta y)-\varphi(y_{0})， \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，从而 \Delta y=0\Leftrightarrow\Delta x=0 ， \Delta y\rightarrow 0\Leftrightarrow\Delta x\rightarrow0 ，结合 \varphi'(y_{0})\ne 0 有： f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{\lim_{\Delta y \rightarrow 0}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}} =\frac{1}{\varphi'(y_{0})} .