10 双线性函数

2024-01-03 11:50| 来源: 网络整理| 查看: 265

度量矩阵：设\(f(\alpha, \beta)\)是数域\(P\)上的任意\(n\)维线性空间\(V\)上的双线性函数，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)是\(V\)的一组基，则矩阵

\[A=\begin{bmatrix} f(\varepsilon_1,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_1,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_1,\varepsilon_n) \\ f(\varepsilon_2,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_2,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_2,\varepsilon_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f(\varepsilon_n,\varepsilon_1)& f(\varepsilon_n,\varepsilon_2)& \cdots & f(\varepsilon_n,\varepsilon_n) \end{bmatrix} \]

称为\(f(\alpha, \beta)\)在\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)下的度量矩阵

在给定基下, \(V\)上全体双线性函数与\(P\)上全体\(n\)级矩阵\(P^{n\times n}\)之间存在1─1对应的关系

线性空间\(V\)上双线性函数空间\(V^{\ast}\)与\(P^{n\times n}\)同构

\(n\)维线性空间\(V\)上同一双线性函数\(f(\alpha,\beta)\)在\(V\)的不同基下的矩阵是合同的

非退化

设\(f(\alpha,\beta)\)是线性空间\(V\)上的一个双线性函数，如果从\(f(\alpha,\beta)=0,\forall \beta\in V\)可推出\(\alpha = 0\)则称\(f(\alpha,\beta)\)是非退化的双线性函数\(f(\alpha,\beta)\)是非退化的当且仅当\(f(\alpha,\beta)\)的度量矩阵为非退化的

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