接上讲的符号和约定：

MP86：辛(symplectic)的起源(1)：三角函数的线性性与Hermite内积

MP87：辛(symplectic)的起源(2)：张量与Hermite内积的旋转不变量

\mathbb R^{2n} \sim \mathbb C^n 中的向量 z ，用实向量表示具有 2n 的维度，记为 z=(x,y) ，其中 x,y \in \mathbb R^n，分量展开为 z=(x,y)=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n) \in \mathbb R^{2n}；用复向量表示具有 n 的维度，分量展开为 z = [z_k] = [a_k \text{e}^{i\alpha_k}] 。在 \mathbb R^{2n} \sim \mathbb C^n 中取两个向量：

\begin{align} z&=(x,y)=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)=[a_k\text e^{i\alpha_k}]\\ w&=(u,v)=(u_1,\dots,u_n,v_1,\dots,v_n)=[b_k\text e^{i\beta_k}] \end{align} \tag{1}

注意到每个复维度分量对应了一对实维度分量，在复维度的分量上讨论如同在复数上的讨论。在多维复空间中可以把前面的Hermite内积扩展为：\begin{align} \mathbb C^n \times \mathbb C^n & \to \mathbb{C} \\ (z,w) &\mapsto\langle z,w \rangle = z \cdot \overline w \\ &= \sum_k z_k \cdot \overline w_k \\ &= \sum_k (x_ku_k+y_kv_k) + i\sum_k (u_ky_k-v_kx_k) \\ \end{align} \tag{2}

注意它的实部：

\begin{align} \text{Re}(z \cdot \overline w) &= \sum_k (x_ku_k+y_kv_k) \\ &= z^T \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix} w \\ &= [x_1,\dots x_n, y_1, \dots, y_n] \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\\v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix} \end{align}

类似的，在虚部也有：

\begin{align} \text{Im}(z \cdot \overline w) &= \sum_k (-x_kv_k+u_ky_k) \\ &= z^T \begin{bmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} w \\ &= [x_1,\dots x_n, y_1, \dots, y_n] \begin{bmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\\v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix} \end{align}

双线性映射是通过 2n -维方矩阵表达的。通过 \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix} ，得到了两个 n -维复向量之间的 2n -维实向量。通过 \begin{bmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} ，得到的是实辛内积(的反号)。这一对关系实际上是初等三角函数性质的体现：\begin{align} \cos\varphi_k &= \cos(\alpha_k-\beta_k) = \begin{bmatrix} \cos\alpha_k & \sin\alpha_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta_k \\ \sin\beta_k \end{bmatrix} \\ \sin\varphi_k &= \sin(\alpha_k-\beta_k) = \begin{bmatrix} \cos\alpha_k & \sin\alpha_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta_k \\ \sin\beta_k \end{bmatrix} \end{align} \tag{3}

现在可以把Hermite内积记为：\begin{align} \mathbb C^n \times \mathbb C^n & \to \mathbb{C} \\ (z,w) &\mapsto\langle z,w \rangle = z \cdot \overline w \\ &= \sum_k z_k \cdot \overline w_k \\ &= \sum_k (x_ku_k+y_kv_k) + i\sum_k (u_ky_k-v_kx_k) \\ &=z^T\Bigg( \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix} + i \begin{bmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} \Bigg)w \end{align} \tag{4}

我们知道了，Hermite内积的意义在于，它提取了实内积和辛内积的双线性映射的内核，并且通过一个复线性映射将两者统一起来。对于实内积我们已经有了足够的了解，后面我们关注的主要是辛内积。

(4)式中决定Hermite内积的线性映射性质的矩阵记为以下符号，其中虚部的矩阵一般取其反号的形式

\mathbb I = \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix},\ \mathbb J = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ - I_n & 0 \end{bmatrix} \tag{5}

显然 2n -维的 \mathbb I 仍然是单位矩阵，而 \mathbb J 则称为辛矩阵(symplectic matrix)，显然 \mathbb J^{-1} = - \mathbb J 且 \mathbb J^2 = -\mathbb I 。这样我们立即联想到关于复结构的定义。辛矩阵代表着数学中广泛存在的复杂的交错对称结构。根据(3)以及前面的讨论我们知道，从正交分解的角度， \mathbb I 和\mathbb J 将面积投影到实部和虚部——如果我们可以理解 \mathbb I 是夹角的余弦，便容易理解 \mathbb J 是夹角的正弦。

前面我们一直在讨论的是复 n -维向量的实 2n -维处理。在建立了坐标系，特别是在 n -维实微分流形的 2n -维余切丛上，我们用局部的实坐标 (q,p) 表示复向量 z ，并记这个 n -维复/2n -维实向量空间为 Z ，其对偶空间为 Z^* 。

根据Riesz引理，自对偶线性空间上的内积 \langle \cdot,\cdot \rangle : W \times W^* \to K 可以等同于双线性映射 \langle \cdot,\cdot \rangle : W \times W \to K 。进一步我们记 Z = W \times W \simeq W \times W^* ，这相当于前面我们一直使用的技术，把一对 n -维实空间通过Cartesian积构造成 n -维复空间。那么内积空间 (W,\langle \cdot,\cdot \rangle) 可以诱导出双线性形式：

\begin{align} Z \times Z &\to K \\ \big((z=x+iy),(w=u+iv)\big) &\mapsto\Omega(z,w) = \Omega(x+iy,u+iv) \\ &=\langle x,v \rangle - \langle y,u \rangle \end{align} \tag{6}

这样，我们从实内积空间上构造出了一个辛形式(symplectic form)。

实Banach空间上的双线性形式 \Omega: Z \times Z \to \mathbb R 称为非退化的(non-degenerate)，如果对于 \forall z_2 \in Z 它的取值都退化为 \Omega(z_1,z_2)=0 ，则必有 z_1=0 。换句话说，对于一个非退化的 \Omega ，只有当 z_1 退化为 z_1=0 这样强的条件下才能使 \Omega(z_1,z_2)=0 。在向量空间 Z 上定义的非退化的反对称双线性形式 \Omega: Z \times Z \to K 称为辛形式， (Z,\Omega) 称为辛向量空间(symplectic vector space)。

从(6)很容易看到辛矩阵的作用。实际上前面在 \mathbb C^n 上定义的Hermite内积，其虚部就构成了辛形式从而成为辛向量空间 (\mathbb C^n,-\text{Im}\langle \cdot,\cdot \rangle) 。