\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

选择性必修第一册同步提高，难度3颗星！

平面内与两个定点\(F_{1},F_{2}\)，的距离之差的绝对值等于常数（小于\(F_{1}F_{2}\)）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，\(P\)是双曲线上一点，\(| P F _ { 1 } - P F _ { 2 } | = 2 a \lt F _ { 1 } F _ { 2 }\). \({\color{Red}{解释}}\) 当\(PF_1-PF_2=2a0)\)的离心率为\(\dfrac{2\sqrt3}{3}\)，右顶点为\(A\)，以\(A\)为圆心，\(b\)为半径作圆\(A\)，圆\(A\)与双曲线\(C\)的一条渐近线交于\(M、N\)两点，则有 (　　) A．渐近线方程为\(y=±\sqrt3 x\) \(\qquad\)B．渐近线方程为\(y=±\dfrac{\sqrt3}{3} x\) \(\qquad\)C．\(∠MAN=60^°\) \(\qquad\)D．\(∠MAN=120^°\)  

3(★★)[多选题] 已知\(F_1,F_2\)分别是双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点，\(A\)为左顶点，\(P\)为双曲线右支上一点，若\(|PF_1 |=2|PF_2 |\)且\(△PF_1 F_2\)的最小内角为\(30^°\)，则(　　) A．双曲线的离心率\(\sqrt3\) B．双曲线的渐近线方程为\(y=±\sqrt2x\) C．\(∠PAF_2=45^°\) D．直线\(x+2y－2=0\)与双曲线有两个公共点  

4(★★) 已知点\(F_1 (－3,0)，F_2 (3,0)\)分别是双曲线\(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点，\(M\)是\(C\)右支上的一点，\(MF_1\)与\(y\)轴交于点\(P\)，\(△MPF_2\)的内切圆在边\(PF_2\)上的切点为\(Q\)，若\(|PQ|=2\)，则\(C\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\).  

5(★★★)已知双曲线\(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1，F_2\)，过\(F_1\)的直线与\(C\)的左、右支分别交于\(P、Q\)两点，\(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{F_1 P} ，\overrightarrow{F_1 Q} \cdot \overrightarrow{F_2 Q} =0\)，则\(C\)的渐近线方程为\(\underline{\quad \quad}\) .  

6(★★★) 如图所示，已知双曲线\(C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的右焦点为\(F\)，双曲线\(C\)的右支上一点\(A\)，它关于原点\(O\)的对称点为\(B\)，满足\(∠AFB=120^°\)，且\(|BF|=2|AF|\)，则双曲线\(C\)的离心率是\(\underline{\quad \quad}\) .

7(★★★)已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点分别\(F_1，F_2\)，过\(F_2\)的直线交双曲线右支于\(A，B\)两点．\(∠F_1 AF_2\)的平分线交\(BF_1\)于\(D\)，若\(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF_1} +\overrightarrow{AF_2}\)，则双曲线的离心率为\(\underline{\quad \quad}\).  

8(★★★) 已知双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(O\)为双曲线的中心，\(P\)是双曲线右支上的点，\(△PF_1 F_2\)的内切圆的圆心为\(I\)，且圆\(I\)与\(x\)轴相切于点\(A\)，过\(F_2\)作直线\(PI\)的垂线，垂足为\(B\)，则\(\dfrac { | OB | } { | O A | } =\) \(\underline{\quad \quad}\).    

【典题1】已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为\(\theta\)，若\(\theta\)的取值范围是\([ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\)，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A．\(( 1 , \sqrt { 2 } ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\([ \sqrt { 2 } , 2 ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\([ \dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } , \sqrt { 2 } ]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\([ 2 , + \infty )\) 【解析】根据题意，易得双曲线的实轴长为\(2a\)，虚轴长为\(2b\)； 由双曲线的意义，可得\(e ^ { 2 } = \dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }\)， 以实轴为角平分线的角为\(\theta\)，若\(\theta\)的取值范围是\([ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\)， 可得\(1 \leq \dfrac { b } { a } \leq \sqrt { 3 }\)； 进而可得：\(e ^ { 2 } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }\in [ 2 , 4 ]\),所以\(e \in [ \sqrt { 2 } , 2 ]\)．故选：\(B\)． 【点拨】 求离心率的范围的一般思路：求出\(a,b,c\)任意两个量比值的范围得到关于离心率\(e\)的不等式，从而求出\(e\)的范围,同时也要注意椭圆中\(0 \lt e \lt 1\),双曲线中\(e>1\).  

【典题1】已知双曲线\(x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1\)的右焦点为\(F\)，右顶点\(A\)，\(P\)为渐近线上一点，则\(| P A | + | P F |\)的最小值为(　　) A．\(2\sqrt3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\sqrt3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(\sqrt5\) 【解析】 如图：双曲线\(x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1\)的右焦点为\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)， 右顶点\(A(1,0)\)，\(P\)为渐近线\(y=x\)上一点， 则\(| P A | + | P F |\)的最小值就是\(A\)关于\(y=x\)的对称点\(A ^ { \prime }\)到的距离， 所以\(A ^ { \prime }(0,1)\)， 则\(| P A | + | P F |\)的最小值为：\(\sqrt { ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }\)． 故选：\(B\)． 【点拨】这属于“将军饮马问题”！  

【典题2】 点\(F_2\)是双曲线\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的右焦点，动点\(A\)在双曲线左支上，直线\(l _ { 1 } : t x - y + t - 2 = 0\)与直线\(l _ { 2 } : x + t y + 2 t - 1 = 0\)的交点为\(B\)，则\(| A B | + | A F _ { 2 } |\)的最小值为(　　) A．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(5 \sqrt { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(6\sqrt { 3 }\) 【解析】联立直线\(l _ { 1 } , l _ { 2 }\)的方程\(\begin{cases} { t x - y + t - 2 = 0 } \\ { x + t y + 2 t - 1 = 0 } \end{cases}\)， 可得\(\begin{cases} { x = - \dfrac { t ^ { 2 } - 1 } { t ^ { 2 } + 1 } } \\ { y + 2 = \dfrac { 2 t } { t + 1 } } \end{cases}\)，消参数\(t\)可得\(x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 1\)， 所以可得交点\(B\)的轨迹为圆心在\((0,-2)\)，半径为\(1\)的圆， 由双曲线的方程可得\(a = 3 , b = \sqrt { 3 }\)，焦点\(F ( - 2 \sqrt { 3 } , 0 )\)， 可得\(| A F _ { 2 } | = | A F _ { 1 } | + 2 a = | A F _ { 1 } | + 6\)， 所以\(| A B | + | A F _ { 2 } | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6\)， 当\(A , F _ { 1 } , B\)三点共线时，\(| A B | + | A F _ { 2 } |\)最小， 所以\(| A B | + | A F_2 | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6 \geq | B F _ { 1 } | - 1 + 6 = \sqrt { ( - 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } + 5 = 9\)， 当过\(F_1\)与圆心的直线与圆的交点\(B\)且在\(F_1\)和圆心之间时最小． 所以\(| A B | + | A F _ { 2 } |\)的最小值为\(9\)，故选：\(C\)． 【点拨】这属于“三点共线取最值”模型,在圆锥曲线求最值问题用几何法需要明确动点的运动规律，平时掌握常见模型，多观察图象.  

【典题1】[多选题]已知为双曲线\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1\)上的动点，过\(P\)作两渐近线的垂线，垂足分别为\(A,B\)，记线段\(PA,PB\)的长分别为\(m，n\)，则(　　) A．若\(PA,PB\)的斜率分别为\(k _ { 1 } , k _ { 2 }\)，则$ k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3$ B．\(m n = \dfrac { 1 } { 2 }\) C．\(4m+n\)的最小值为 \(\sqrt3\) D．\(AB\)的最小值为\(\dfrac { 1 } { 2 }\) 【解析】

如图所示，设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，则\(\dfrac { x_0 ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } = 1\)． 由题设条件知，双曲线的两渐近线： \(l _ { 1 } : y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x , l _ { 2 } : y = - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x\)． 设直线\(PA,PB\)的斜率分别为\(k _ { 1 } , k _ { 2 }\)， 则\(k _ { 1 } = - \sqrt { 3 } , \quad k _ { 2 } = \sqrt { 3 }\)， 所以\(k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3\) ，故选项\(A\)正确； 由点线距离公式知：\(| P A | = m = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } - 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } } , | P B | = n = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } + 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } }\)， 所以\(m n = \dfrac { | 3 x _ { 0 } ^ { 2 } - 9 y _ { 0 } ^ { 2 } | } { 12 } = \dfrac { 9 } { 12 } \times | \dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } | = \dfrac { 3 } { 4 }\) ， 故选项\(B\)错误； 因为\(4 m + n \geq 4 \sqrt { m m } = 4 \times \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 2 \sqrt { 3 }\)，所以\(C\)不正确； 由渐近线的斜率可知\(\angle AOx = 30 ^ { \circ }\)，所以\(\angle AOB =60 ^ { \circ }\), 四边形\(AOBP\)中易得\(\angle APB = 120 ^ { \circ }\)， 所以\(| A B | = \sqrt { P A ^ { 2 } + P B ^ { 2 } - 2 P A \cdot P B \cdot \cos \angle A P B }=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n } \geq \sqrt { 3 m n } = \dfrac { 3 } { 2 }\)， (当\(m=n\)，即点\(P\)在双曲线的顶点位置时) 所以\(D\)正确， 故选：\(AD\)． 【点拨】 ①\(PA,PB\)两条线段长度由点\(P\)确定，根据题意用点到直线的距离公式表示出来； ②求\(4m+n\)与\(AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\)时，用基本不等式\(a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )\)求最值. ③思考:如何处理含一个变量与两个变量的式子最值问题呢？ (1) 含一个变量的，比如求\(\dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )\)的最小值，想到构造\(f ( m ) = \dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )\)，再用函数最值方法求解； (2) 含两个变量，比如本题中\(AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\)，在高中阶段常用基本不等式处理，那转化为只含一个变量？思路有两条，一是用\(n\)表示\(m\)消掉一个变量，但本题\(m,n\)没明显的关系；二是用另外一个变量表示,这是可以的，用双曲线的参数方程设点\(P ( \dfrac { \sqrt { 3 } } { \cos \alpha } , \tan \alpha )\)，就可以用\(\alpha\)表示\(m,n\)，从而\(\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }\)变成一个变量表示\(\alpha\)，但计算量较大.  

【典题2】已知双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x\)，\(P\)为双曲线上一个动点，\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)为其左，右焦点，\(\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}\)的最小值为\(-3\)，则此双曲线的焦距为( ) A．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\sqrt5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\sqrt7\) 【解析】因为双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x\)，所以\(\dfrac { b } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }\)， 不妨设\(a = 2 k , \quad b = \sqrt { 3 } k , \quad k \gt 0\)， 所以\(c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \sqrt { 7 k }\)， 所以\(F _ { 1 } ( - \sqrt { 7 } k , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 7 } k , 0 )\)， 设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，且\(x _ { 0 } \leq - 2 k\)或\(x _ { 0 } \geq 2 k\)，即\(x _ { 0 } ^ { 2 } \geq 4 k ^ { 2 }\)， 因为\(\dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)，所以\(y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 3 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 3 k ^ { 2 }\)， 所以\(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } } = ( - \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } ) ( \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } )\) \(= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2\) \(\geq 7 k ^ { 2 } - 10 k ^ { 2 } = - 3 k ^ { 2 } = - 3\)， 解得\(k = 1 , k = - 1\)(舍去)， 所以\(c = \sqrt { 7 }\)，所以\(2 c = 2\sqrt { 7 }\)， 故选：\(D\)． 【点拨】 ①本题处理数量积的方法是坐标法，设点\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，得\(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }\)； ②做到\(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }\)，其中\(k\)为参数，\(x _ { 0 } , y _ { 0 }\)为变量，而点\(P\)在双曲线上，满足\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)，故可消元得到\(\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2\)，此时用函数方法求最小值，要注意自变量\(x_0\)的取值范围; ③利用函数法求最值，一定要谨记“优先考虑定义域”！  

【典题3】如图，在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle B A C = 120 ^ { \circ }\)，其内切圆与\(AC\)边相切于点\(D\)，延长到\(BA\)，使\(BE=BC\)，连接\(CE\)，设以\(E,C\)为焦点且经过点\(A\)的椭圆的离心率为\(e_1\)，以\(E,C\)为焦点且经过点\(A\)的双曲线的离心率为\(e_2\)，则当\(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }\)取最大值时，\(\dfrac { A D } { D C }\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)． 【解析】 如图，设\(M,G\)分别是\(BC,BE\)与圆的切点． 由圆的切线性质， 可设\(A G = A D = 1 , \quad C D = C M = G E = m , \quad ( m \gt 1 )\)， 在\(\triangle AEC\)中， \(C E ^ { 2 } = C A ^ { 2 } + A E ^ { 2 } - 2 C A \cdot E A \cos 60 ^ { \circ } =m ^ { 2 } + 3\) 所以\(C E = \sqrt { m ^ { 2 } + 3 }\)， 所以\(e _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 m }\)，\(e _ { 2 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 }\)， 则\(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e _ { 2 } } = \dfrac { 4 m + 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } = \sqrt { \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } }\); 令\(f ( m ) = \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 }\), 设\(t = 4 m - 11\)，则\(m = \dfrac { t + 11 } { 4 }\), 所以\(\dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } = \dfrac { t } { \dfrac { t } { 16 } + 3 } = \dfrac { 16 t } { t ^ { 2 } + 22 t + 169 } = \dfrac { 16 } { t + \dfrac { 169 } { t } + 22 } \leq \dfrac { 16 } { 26 + 22 } = \dfrac { 1 } { 3 }\) 当\(t=13\),即\(m=6>1\)时取到等号， 所以\(f ( m ) = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } \leq \dfrac { 52 } { 3 }\)， 所以当\(m=6\)时，\(\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }\)取最大值\(\sqrt { \dfrac { 52 } { 3 } }\)，此时\(\dfrac { A D } { D C } = \dfrac { 1 } { 6 }\), 【点拨】 ①本题中没给出任一线段长度，设\(AG=1\)，可减少计算量； ②本题求最值采取函数法，这是\(\dfrac { a _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }\)型的函数最值问题,此类题目常考.  

1 (★★) 已知\(F_1 、F_2\)是双曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左右焦点，以\(F_2\)为圆心，\(a\)为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于\(A，B\)两点，若\(|AB|>\dfrac {|F_1 F_2 |}{2}\)，则双曲线的离心率的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) ．

2(★★) 设双曲线\(\dfrac{x^2}{16} -\dfrac{y^2}{12}=1\)的左、右焦点分别为\(F_1，F_2\)，过\(F_1\)的直线\(l\)交双曲线左支于\(A，B\)两点，则\(|AF_2 |+|BF_2 |\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．

3(★★) 已知\(F_1，F_2\)分别是双曲线\(C:\dfrac{x^2}{4} -\dfrac{y^2}{3}=1\)的左，右焦点，动点\(A\)在双曲线的左支上，点\(B\)为圆\(E：x^2+(y+3)^2=1\)上一动点，则\(|AB|+|AF_2 |\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．  

4(★★★)设双曲线\(C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1，F_2\)，\(|F_1 F_2 |=2c\)，过\(F_2\)作\(x\)轴的垂线，与双曲线在一第象限的交点为\(A\)，点\(Q\)坐标为\((c,\dfrac {3a}{2})\)且满足\(|F_2 Q|>|F_2 A|\)，若在双曲线\(C\)的右支上存在点\(P\)使得\(|PF_1 |+|PQ|0,b>0)\)的左右焦点为\(F_1 (－2,0),F_2 (2,0)\)，点\(P\)是双曲线上任意一点，若\(\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2}\)的最小值是\(－2\)，则双曲线\(C\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\)．  

7(★★★) 已知双曲线\(C：\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\)，\(F_1，F_2\)分别为双曲线的左右焦点，\(P(x_0,y_0)\)为双曲线\(C\)上一点，且位于第一象限，若\(△PF_1 F_2\)为锐角三角形，则\(y_0\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．  

8(★★★) 设双曲线\(C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的右焦点为\(F\)，双曲线\(C\)的一条渐近线为\(l\)，以\(F\)为圆心的圆与\(l\)交于点\(M，N\)两点，\(MF⊥NF\)，\(O\)为坐标原点，\(\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{ON}(3\leq\lambda\leq7)\)，则双曲线\(C\)的离心率的取值范围是　\(\underline{\quad \quad}\)．