空间解析几何中有平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程，有时候就怀疑这个空间的真实性，高维空间中我们是怎样的存在，害，好像有点杞人忧天了，每天吃好、喝好、睡好、学习搞好就阿弥陀佛了，来进入正题吧。

已知平面上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) M0​(x0​,y0​,z0​)和平面的一个法向量 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=\left( A,B,C \right) n =(A,B,C) 对于平面上任意一点 M ( x , y , z ) M\left( x,y,z \right) M(x,y,z) 三者满足 n ⃗ ⋅ M 0 M → = 0 \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0M}=0 n ⋅M0​M ​=0 点法式方程为 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A\left( x-x_0 \right) +B\left( y-y_0 \right) +C\left( z-z_0 \right) =0 A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

三元一次方程 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 其图形总是一个平面，称为平面的一般方程 该平面的法向量为 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=\left( A,B,C \right) n =(A,B,C) 通过原点的平面方程： A x + B y + C z = 0 Ax+By+Cz=0 Ax+By+Cz=0 平行于 x x x轴的平面方程： B y + C z + D = 0 By+Cz+D=0 By+Cz+D=0 平行于 y y y轴的平面方程： A x + C z + D = 0 Ax+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 平行于 z z z轴的平面方程： A x + B y + D = 0 Ax+By+D=0 Ax+By+D=0 平行于 x O y xOy xOy平面的平面方程： C z + D = 0 Cz+D=0 Cz+D=0 平行于 y O z yOz yOz平面的平面方程： A x + D = 0 Ax+D=0 Ax+D=0 平行于 x O z xOz xOz平面的平面方程： B y + D = 0 By+D=0 By+D=0

一平面与 x x x轴、 y y y轴、 z z z轴的交点依次为 ( a , 0 , 0 ) 、 Q ( 0 , b , 0 ) 、 R ( 0 , 0 , c ) \left( a,0,0 \right) \text{、}Q\left( 0,b,0 \right) \text{、}R\left( 0,0,c \right) (a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c) 且 a ≠ 0 、 b ≠ 0 、 c ≠ 0 a\ne 0\text{、}b\ne 0\text{、}c\ne 0 a=0、b=0、c=0 截距式方程为 x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 ax​+by​+cz​=1 a a a、 b b b、 c c c依次称为平面在 x x x轴、 y y y轴和 z z z轴上的截距

平面 Π 1 \varPi _1 Π1​和平面 Π 2 \varPi _2 Π2​的法向量分别为 n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) \overrightarrow{n_1}=\left( A_1,B_1,C_1 \right) n1​ ​=(A1​,B1​,C1​)和 n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \overrightarrow{n_2}=\left( A_2,B_2,C_2 \right) n2​ ​=(A2​,B2​,C2​)，两平面的夹角为 θ \theta θ且 0 ≤ θ ≤ π 2 0\le \theta \le \frac{\pi}{2} 0≤θ≤2π​ 平面 Π 1 \varPi _1 Π1​和平面 Π 2 \varPi _2 Π2​夹角的余弦为 cos ⁡ θ = ∣ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ∣ A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 \cos \theta =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} cosθ=A12​+B12​+C12​ ​A22​+B22​+C22​ ​∣A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​∣​

已知点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) P0​(x0​,y0​,z0​)和平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 点到平面的距离 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 ​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

两平面的交线即为一条空间直线 平面 Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 \varPi _1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 Π1​:A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0 平面 Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \varPi _2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 Π2​:A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0 一般方程为 { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array} \right. {A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​

已知直线 L L L上任意一点 M ( x , y , z ) M\left( x,y,z \right) M(x,y,z)和点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) M0​(x0​,y0​,z0​) 直线 L L L的方向向量为 s ⃗ = ( m , n , p ) \vec{s}=\left( m,n,p \right) s =(m,n,p) 则有 M M 0 → = λ s ⃗ \overrightarrow{MM_0}=\lambda \vec{s} MM0​ ​=λs 点向式方程为 x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​

令点向式方程等于 t t t，即 x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​=t 则参数方程为 { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\\ \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧​x=x0​+mty=y0​+ntz=z0​+pt​

直线 L 1 L_{1} L1​的方向向量为 s 1 ⃗ = ( m 1 , n 1 , p 1 ) \vec{s_{1}}=(m_{1},n_{1},p_{1}) s1​ ​=(m1​,n1​,p1​)，直线 L 2 L_{2} L2​的方向向量为 s 2 ⃗ = ( m 2 , n 2 , p 2 ) \vec{s_{2}}=(m_{2},n_{2},p_{2}) s2​ ​=(m2​,n2​,p2​) 两直线的夹角为 φ \varphi φ并且 0 ≤ φ ≤ π 2 0\le \varphi \le \frac{\pi}{2} 0≤φ≤2π​ 两直线夹角的余弦为 cos ⁡ φ = ∣ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 ∣ m 1 2 + n 1 2 + p 1 2 m 2 2 + n 2 2 + p 2 2 \cos \varphi =\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}} cosφ=m12​+n12​+p12​ ​m22​+n22​+p22​ ​∣m1​m2​+n1​n2​+p1​p2​∣​

其中直线与平面的夹角范围为 0 ≤ φ < π 2 0\le \varphi F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​

将空间曲线 C C C上动点坐标 x x x、 y y y和 z z z表示为参数 t t t的函数得到空间曲线的参数方程 { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \left\{ \begin{array}{l} x=x\left( t \right)\\ y=y\left( t \right)\\ z=z\left( t \right)\\ \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​ 譬如： { x 2 + y 2 + z 2 = 9 y = x \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=9\\y=x\\\end{array} \right. {x2+y2+z2=9y=x​的参数方程为 { x = 3 2 cos ⁡ θ y = 3 2 cos ⁡ θ z = 3 sin ⁡ θ ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\y=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\ z=3\sin \theta\\ \end{array}\left( 0\le \theta \le 2\pi \right) \right. ⎩ ⎨ ⎧​x=2 ​3​cosθy=2 ​3​cosθz=3sinθ​(0≤θ≤2π)

以 x O y xOy xOy坐标面为例 将空间曲线 C C C的一般方程消去变量 z z z后得到方程 H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H(x,y)=0，该方程表示的是曲线 C C C关于 x O y xOy xOy面的投影柱面，而该投影柱面与 x O y xOy xOy面的交线叫做空间曲线 C C C在 x O y xOy xOy面上的投影曲线，简称投影。 投影的方程为 { H ( x , y ) = 0 z = 0 \left\{ \begin{array}{l} H\left( x,y \right) =0\\ z=0\\ \end{array} \right. {H(x,y)=0z=0​ 其他坐标面与该坐标面的做法相同

以上三维图形的绘制均是借助 m a t l a b matlab matlab软件实现的，相关代码请参考博客：空间中常见曲面图形的绘制(matlab) 文章中绘制的三维图形在这里可以找到 链接：https://pan.baidu.com/s/1-VgPeuLABTe91_LPlCG4eg 提取码：zjmd