设参数曲线C(u): C ( u ) = ( x ( u ) , y ( y ) , z ( u ) ) C(u) = (x(u),y(y),z(u)) C(u)=(x(u),y(y),z(u))

曲线曲率表达为： k ( u ) = ∣ C ′ ( u ) × C ′ ′ ( u ) ∣ ∣ C ′ ( u ) ∣ 3 ( 1 ) k(u)=\frac{|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|}{|C^{'}(u)|^3}\quad (1) k(u)=∣C′(u)∣3∣C′(u)×C′′(u)∣​(1)

其中： C ′ ( u ) 为 一 阶 导 数 C ′ ′ ( u ) 为 二 阶 导 数 C ′ ( u ) × C ′ ′ ( u ) 为 一 阶 导 数 和 二 阶 导 数 的 叉 乘 \begin{aligned} &C^{'}(u) 为一阶导数 \\ &C^{''}(u) 为二阶导数 \\ &C^{'}(u)\times C^{''}(u) 为一阶导数和二阶导数的叉乘 \\ \end{aligned} ​C′(u)为一阶导数C′′(u)为二阶导数C′(u)×C′′(u)为一阶导数和二阶导数的叉乘​

设置两个向量： 一 阶 导 数 ： a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) 二 阶 导 数 ： b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) a × b = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( x 3 , y 3 , z 3 ) = ( 2 ) = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k ! [ \begin{aligned} 一阶导数：&\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)\\ 二阶导数：&\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (2)\\ &\quad \quad \quad= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k![ \end{aligned} 一阶导数：二阶导数：​a=(x1​,y1​,z1​)b=(x2​,y2​,z2​)a×b=∣∣∣∣∣∣​ix1​x2​​jy1​y2​​kz1​z2​​∣∣∣∣∣∣​=(x3​,y3​,z3​)=(2)=(y1​z2​−y2​z1​)i−(x1​z2​−x2​z1​)j+(x1​y2​−x2​y1​)k![​

计算三次样条曲线曲率： C ′ ( u ) = ( x 1 , y 1 , z 1 ) C ′ ′ ( u ) = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∣ C ′ ( u ) ∣ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 由 公 式 ( 2 ) 得 ： ∣ C ′ ( u ) × C ′ ′ ( u ) ∣ = x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 \begin{aligned} &C^{'}(u)=(x_1,y_1,z_1)\\ &C^{''}(u)=(x_2,y_2,z_2)\\ &|C^{'}(u)|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}\\ \\ &由公式(2)得：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{x^2_3+y^2_3+z^2_3}\\ \end{aligned} ​C′(u)=(x1​,y1​,z1​)C′′(u)=(x2​,y2​,z2​)∣C′(u)∣=x12​+y12​+z12​ ​由公式(2)得：∣C′(u)×C′′(u)∣=x32​+y32​+z32​ ​​

2-D曲线的曲率计算时，依然可以使用前文使用的公式，此时，设置z坐标值为0即可： a = ( x 1 , y 1 , 0 ) b = ( x 2 , y 2 , 0 ) a × b = ∣ i j k x 1 y 1 0 x 2 y 2 0 ∣ = ( x 3 , y 3 , z 3 ) = ( 3 ) = 0 i − 0 j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k 则 ： ∣ C ′ ( u ) × C ′ ′ ( u ) ∣ = ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) 2 ( 4 ) \begin{aligned} &\mathbf{a}=(x_1,y_1,0)\\ &\mathbf{b}=(x_2,y_2,0)\\ &\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & 0\\ x_2 & y_2 & 0\\ \end{matrix} \right|=(x_3,y_3,z_3)=\quad \quad \quad (3)\\ \\ &\quad \quad \quad= 0i-0j+(x_1y_2-x_2y_1)k\\ 则：\\ &|C^{'}(u)\times C^{''}(u)|=\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}\quad \quad (4)\\ \end{aligned} 则：​a=(x1​,y1​,0)b=(x2​,y2​,0)a×b=∣∣∣∣∣∣​ix1​x2​​jy1​y2​​k00​∣∣∣∣∣∣​=(x3​,y3​,z3​)=(3)=0i−0j+(x1​y2​−x2​y1​)k∣C′(u)×C′′(u)∣=(x1​y2​−x2​y1​)2 ​(4)​ 现在考虑参数方程： C ( u ) = { x ( u ) , y ( u ) C(u)= \begin{cases} x(u),\\ y(u) \end{cases} C(u)={x(u),y(u)​ 由高等数学知识得到： K = ∣ x ′ ( u ) y ′ ′ ( u ) − x ′ ′ ( u ) y ′ ( u ) ∣ ∣ x ′ 2 ( u ) + y ′ 2 ( u ) ∣ 3 2 变 量 带 入 分 子 即 为 ： ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) 2 , 与 公 式 ( 3 ) ( 4 ) 得 到 的 结 果 一 致 . K=\frac{|x^{'}(u)y^{''}(u)-x^{''}(u)y^{'}(u)|}{|x^{'2}(u)+y^{'2}(u)|^{\frac{3}{2}}}\\ \\ \\ \\ 变量带入分子即为：\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2},与公式(3)(4)得到的结果一致.\\ K=∣x′2(u)+y′2(u)∣23​∣x′(u)y′′(u)−x′′(u)y′(u)∣​变量带入分子即为：(x1​y2​−x2​y1​)2 ​,与公式(3)(4)得到的结果一致.

数学就是这么奇妙啊!!!

结果如下：